そこで、ガウス整数 Z = a + b*i (a、b∈Z) のノルムを、N(Z) = x^2 + y^2 で定義する。
今、２つのガウス整数 Z1 と Z2 があるとき、 Z1 = Z2*Q + R ただし、N(R)＜N(Z2) を満た
すガウス整数Q、Rがいて欲しいし、また存在できる。
次の Z1、Z2 であるとき、それぞれのガウス整数Q、Rを求めて下さい。
(1) Z1 = 11 + 17*i 、Z2 = 5 + 3*i
(2) Z1 = 21 - 20*i 、Z2 = 3 - 7*i
(3) Z1 = 237 + 504*i 、Z2 = -10 + 23*i
（コメント） 計算してみた。
(1) 11 + 17*i = (5 + 3*i)*(3 + 2*i) + 2 - 2*i
(2) 21 - 20*i = (3 - 7*i)*(3 + i) + 5 - 2*i
(3) 237 + 504*i = (-10 + 23*i)*(15 - 17*i) -4 - 11*i
DD++ さんからのコメントです。（令和５年１月３０日付け）
通常の整数における割り算原理は、そのような Q と R が常に 1 つだけ存在する（つまり、
複数存在することはない）という内容を含みます。ところが、ガウス整数に単純に拡張すると、
例えば (1) だと
11 + 17*i = (5 + 3*i)*(3 + 2*i) + 2 - 2*i
11 + 17*i = (5 + 3*i)*(3 + i) - 1 + 3*i
というように複数の Q、R が存在できてしまうように思います。この点はどうにかならないもの
でしょうか？
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和５年１月３０日付け）
そうなんですよね。例えば、
Z1 = 12 - 23*i 、Z2 = 7 - 5*i などでは、
Z1 = Z2*(3 - i) + (-4 - i)
Z1 = Z2*(2 - i) + (3 - 6*i)
Z1 = Z2*(2 - 2*i) + (8 + i)
Z1 = Z2*(3 - 2*i) + (1 + 6*i)
など、すべてが許されることが起きます。更に、
Z1 = 21 - 20*i 、Z2 = 3 - 7*i では、
Z1 = Z2*(3 + 2*i) + (-2 - 5*i)
Z1 = Z2*(3 + i) + (5 - 2*i)
Z1 = Z2*(4 + i) + (2 + 5*i)
Z1 = Z2*(4 + 2*i) + (-5 + 2*i)
で、全ての余りRのノルムN(R) = 29 となってしまう。言ってみれば、ここが通常の整数とは
違う点になりますね。
以下、工事中！
