３回目の大学入学共通テストが令和５年１月１４日・１５日の両日、約５１万人の受験生に
対して行われた。昨年度の著しい難化を反省したのか、良心的な問題が多かった。

　１８日発表の平均点中間集計によれば、数学Ｉ・Ａの平均点は、５８．０８点（昨年度は、
３７．９６点）、数学ＩＩ・Ｂは、６４．８６点（４３．０６点）で、それぞれ２０点ほどアップする予想だ。

　２月６日に大学入試センターより、平均点の発表があった。
　数学Ｉ・Ａは、５５．６５点（昨年度は、３７．９６点）、数学ＩＩ・Ｂは、６１．４８点（４３．０６点）

　今年も面白そうな問題をいくつか取り上げ、挑戦したいと思う。問題文は一部改題です。

　まずは、受験生が不得手な空間図形の問題です。空間とは言うものの、実質は、三角比
の問題です。

【 数学Ｉ・Ａ 】

第１問［２］（２）　半径５の球面Ｓ上に、３点Ｐ、Ｑ、Ｒをとり、ＰＱ＝８、ＱＲ＝５、ＲＰ＝９とす
　る。球面上の点Ｔで、三角錐Ｔ-ＰＱＲの体積が最大であるとする。この最大値を求めるた
　めに、次の問いに答えよ。
（イ）　△ＰＱＲを求めよ。
（ロ）　Ｔから△ＰＱＲに垂線を下ろし、その足をＨとするとき、ＴＨの長さを求めよ。
（ハ）　三角錐Ｔ-ＰＱＲの体積を求めよ。

　　　　

（解）（イ）　ｃｏｓＰ＝（８²＋９²−５²）/（２・８・９）＝５/６　より、ｓｉｎＰ＝√１１/６　なので、

　　△ＰＱＲ＝（１/２）・８・９・√１１/６＝６√１１

（ロ）　題意より、球面Ｓの中心をＳとすると、ＳＰ＝ＳＱ＝ＳＲ　なので、　ＨＰ＝ＨＱ＝ＨＲ

　よって、点Ｈは△ＰＱＲの外接円の中心である。正弦定理より、

　２ＰＨ＝５/ｓｉｎＰ＝３０/√１１　なので、　ＰＨ＝１５/√１１

　よって、　ＴＨ＝５＋√（５²−ＰＨ²）＝５＋５/√１１

（ハ）　三角錐Ｔ-ＰＱＲの体積

　　＝（１/３）・６√１１・（５＋５/√１１）＝１０（√１１＋）　　（終）


　第２問［１］はデータ分析の問題で、言葉の意味が分かっていれば即答できる問題ばかり
である。問題文が冗長すぎて、他の問題との難易バランスが取れていない。

　［２］は２次関数の問題で、特に複雑な計算は要求されていない。最後の「ボール何個分」
の計算では、電卓を使うまでもないが若干煩雑である。受験生で電卓利用による不正行為
があったとのことだが、ここで使ったのだろうか。

　第３問〜第５問は選択問題である。２問を選択し解答すればよい。

第３問　　番号によって区別された複数の球が、何本かのひもでつながれている。ただし、
　　　　　各ひもはその両端で二つの球をつなぐものとする。次の条件を満たす球の塗り分け
　　　　　方(以下、球の塗り方)を考える。
【条件】　・それぞれの球を、用意した５色(赤、青、黄、緑、紫)のうちのいずれか１色で塗る。
　　　　　・１本のひもでつながれた二つの球は異なる色になるようにする。
　　　　　・同じ色を何回使ってもよく、また使わない色があってもよい。

（１）　下図において、球の塗り方は何通りあるか。

　　

（２）　下図において、球の塗り方は何通りあるか。

　　　　

（３）　下図における球の塗り方のうち、赤をちょうど２回使う塗り方は何通りあるか。

　　　

（４）　下図における球の塗り方のうち、赤をちょうど３回使い、かつ青をちょうど２回使う塗り
　　　方は何通りあるか。

　　

（５）　下図において、球の塗り方の総数を求めるために、次の構想を立てる。

　　　

【構想】　次の２つの図を比較する。

　　　　　　　

　右図では球３と球４が同色になる球の塗り方が可能であるため、左図よりも右図の球の塗
り方の総数の方が大きい。

　右図における球の塗り方は、（１）における球の塗り方と同じである。そのうち球３と球４が
同色になる球の塗り方の総数と一致する図を示し、左図における球の塗り方の総数を求め
よ。

（６）　下図において、球の塗り方は何通りあるか。

　　　

（解）（１）　５×４×４×４＝３２０（通り）

（２）　５×４×３＝６０（通り）

（３）　�@�B　または　�A�C　が赤で、２通り

　　　その１通りに対して、残りの塗り方は、４×４＝１６（通り）

　　以上から、求める塗り方は、　２×１６＝３２（通り）

（４）　赤青は�@には入り得ず、�A�B�C�D�Eのうち、３個は赤の場合の数は、₅Ｃ₃＝１０（通り）

　�A�B�C�D�E　の残り２個に青が入り、�@の塗り方は、　３通り

　　以上から、求める塗り方は、　１０×３＝３０（通り）

（５）　右図における球の塗り方は、３２０通りあり、そのうち球３と球４が同色になる球の塗
　　　り方の総数と一致する図は、

　　　

で、６０通りある。よって、求める塗り方は、　３２０−６０＝２６０（通り）

（６）　（５）と同様にして、

　　　　　　　

の両者を比較して考える。右図の塗り方は、５×４×４×４×４＝１２８０（通り）

　このうち、球４と球５が同色になる球の塗り方の総数と一致する図は、

　　　

で、２６０通りある。よって、求める塗り方は、　１２８０−２６０＝１０２０（通り）　　（終）


（コメント）　問題文が冗長で、問題に深みが感じられない。


第４問　　色のついた長方形を並べて正方形や長方形を作ることを考える。色のついた長
　　　　　方形は、向きを変えずにすき間なく並べることとし、色のついた長方形は十分ある
　　　　　ものとする。

　　　　

（１）　横の長さが462で縦の長さが110である赤い長方形を横に並べて正方形や長方形を
　　作ることを考える。

　（イ）　462と110の両方を割り切る素数のうち最大のものを求めよ。

　（ロ）　赤い長方形を並べて作ることができる正方形のうち、辺の長さが最小であるものの
　　　　一辺の長さを求めよ。

　（ハ）　赤い長方形を並べて正方形ではない長方形を作る。462の約数と110の約数を考え
　　　　て、横の長さと縦の長さの差の絶対値の最小値を求めよ。

　（ニ）　縦の長さが横の長さより（ハ）の最小値だけ長い長方形のうち、横の長さの最小値
　　　　を求めよ。

（２）　花子さんと太郎さんは、（１）で用いた赤い長方形を1枚以上並べて長方形を作り、そ
　　　の右側に横の長さが363で縦の長さが154である青い長方形を1枚以上並ベて、正方
　　　形や長方形を作ることを考えている。

　　　　

　このとき、赤い長方形を並べてできる長方形の縦の長さと、青い長方形を並べてできる長
方形の縦の長さは等しい。このとき出来る長方形の縦の長さの最小値を求めよ。
（一般の長方形は、縦の長さは、縦の長さの最小値の倍数となる。）

　二人は、次のように話している。
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
花子：赤い長方形と青い長方形を（２）のように並べて正方形を作ってみようよ。

太郎：赤い長方形の横の長さが462で青い長方形の横の長さが363だから、正方形の横の
　　　長さは462と363を組み合わせて作ることができる長さでないといけないね。

花子：正方形だから、横の長さは縦の長さの最小値の倍数でもないといけないね。
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

（イ）　462と363の最大公約数を求めよ。

（ロ）　（イ）の倍数のうちで縦の長さの最小値の倍数でもある最小の正の整数を求めよ。

（ハ）　これらのことと、使う長方形の枚数が赤い長方形も青い長方形も１枚以上であること
　　　から、（２）の正方形のうち、辺の長さが最小であるもときの一辺の長さを求めよ。

（解）（１）（イ）　462=2・3・7・11　、110=2・5・11　より、462と110の両方を割り切る素数のうち

　　最大のものは、11である。

（ロ）　462×110の長方形を横にｍ個、縦にｎ個並べて正方形を作る。

　　このとき、462ｍ＝110ｎ　より、求める長さの最小値は、462と110の最小公倍数である。

　最小公倍数は、2・3・5・7・11＝2310　なので、辺の長さが最小の正方形の一辺の長さは、

　2310である。

（ハ）　横の長さは、462×ｍ＝22×21ｍ　縦の長さは、110×ｎ＝22×5ｎ　なので、

　　横の長さと縦の長さの差は、　22×（21ｍ−5ｎ）　となる。

　　21と5は互いに素なので、21ｍ−5ｎ=±１　となる整数ｍ、ｎが必ず存在する。

　したがって、横の長さと縦の長さの差の絶対値の最小値は、22である。

（ニ）　縦の長さが横の長さより２２だけ長い長方形を考えるので、

　　22×（21ｍ−5ｎ）=−22　すなわち、　5ｎ−21ｍ=１

　　5・（−4）−21・（−1）=１　より、　5（ｎ＋4）=21（ｍ＋1）

　5と21は互いに素なので、ｍ＋1は5の倍数　よって、ｍは自然数なので、最小値は、ｍ=4

　以上から、求める横の長さは、　462×4=1848

（２）　題意より、　110×ｍ=154×ｎ　すなわち、　5ｍ=7ｎ　なので、ｍは7の倍数

　　最小値は、ｍ=7　なので、縦の長さの最小値は、110×7=770

（イ）　462=2・3・7・11　、363=3・11・11　なので、　462と363の最大公約数は、33

（ロ）　33と770の最小公倍数は、2310である。

（ハ）　横方向に、赤い長方形を ｘ 枚、青い長方形を ｙ 枚使うとすると、

　　　正方形の１辺の長さ 462・ｘ＋363・ｙ は、462と363の最大公約数33の倍数で、かつ、

　　770の倍数でなければならないので、33と770の最小公倍数2310の倍数となる。

　　よって、462・ｘ＋363・ｙ=2310ｎ　すなわち、　14・ｘ＋11・ｙ=70ｎ　と書ける。

　　11・ｙ=14（5ｎ−ｘ）で、ｙ は14の倍数なので、ｙ＝14ｓ　とおくと、

　　5ｎ−ｘ＝11ｓ　すなわち、ｘ＝5ｎ−11ｓ となる。

　　ｘ、ｙは１以上が条件なので、最小性も加味して、ｓ＝1、ｎ＝3　とすればよい。

　このとき、　ｘ＝4、ｙ＝14　で、１辺の長さの最小値は、　2310×3＝6930　　（終）


（コメント）　整数問題の正統派で、重量感がありますね！読解力が必要な問題でした。


第５問　(1)　円Ｏに対して、次の手順１で作図を行う。

【手順１】
(Step 1)　円Ｏと異なる２点で交わり、中心Ｏを通らない直線Ｌを引く。円Ｏと直線Ｌとの交点
　　　　　をA、Bとし、線分ABの中点Cをとる。
(Step 2)　円Ｏの周上に、点Dを∠CODが鈍角となるようにとる。直線CDを引き、円Ｏとの交
　　　　　点でDとは異なる点をＥとする。
(Step 3)　点Dを通り直線ＯCに垂直な直線を引き、直線ＯCとの交点をFとし、円Ｏとの交点
　　　　　でDとは異なる点をGとする。
(Step 4)　点Gにおける円Ｏの接線を引き、直線Ｌとの交点をHとする。

　　

　このとき、直線Ｌと点Dの位置によらず、直線ＥＨは円Ｏの接線であることを、次の構想に
基づいて説明せよ。

【構想】　直線ＥＨが円Ｏの接線であることを証明するためには、∠ＯＥＨ＝９０°であること
　　　　　を示せぱよい。

（２）　円Ｏに対して、（１）の手順１とは直線Ｌの引き方を変え、次の手順２で作図を行う。

【手順２】
(Step 1)　円Ｏと共有点をもたない直線Ｌを引く。中心Ｏから直線Ｌに垂直な直線を引き、直
　　　　　線Ｌとの交点をPとする。
(Step 2)　円Ｏの周上に、点Qを∠POQが鈍角となるようにとる。直線PQを引き、円Ｏとの交
　　　　　点でQとは異なる点をRとする。
(Step 3)　点Qを通り直線OPに垂直な直線を引き、円Ｏとの交点でQとは異なる点をSとする。
(Step 4)　点Sにおける円Ｏの接線を引き、直線Ｌとの交点をTとする。

　　

　このとき、次の問いに答えよ。

（イ）　∠PTS の大きさを求めよ。

（ロ）　円Ｏの半径がで、ＯＴ＝３であるとき、３点Ｏ、Ｐ、Ｒを通る円の半径とＲＴを求
　　　めよ。


（解）（１）　【手順１】の(Step 1)と(Step 4)により、∠ＯＣＨ＝∠ＯＧＨ＝９０°なので、

　　４点C、G、H、Ｏは同一円周上にある。　よって、∠CHG＝∠ＦＯＧ　である。

　一方、円周角と中心角の関係から、∠ＦＯＧ＝∠ＣＥＧ　である。

　よって、∠CHG＝∠ＣＥＧ　であるので、４点C、G、H、Ｅは同一円周上にある。

　この円は点Ｏを通り、円に内接する四角形の性質より、∠ＯＥＨ＝∠ＯＧＨ＝９０°である。

（２）（イ）　４点Ｏ、Ｐ、Ｔ、Ｓは同一円周上にあるので、　∠ＰＴＳ＝（１/２）∠ＱＯＳ＝∠ＱＲＳ

（ロ）　（イ）より、４点Ｐ、Ｔ、Ｓ、Ｒは同一円周上にあり、この円は点Ｏを通る。

　∠ＯＳＴ＝９０°より、３点Ｏ、Ｐ、Ｒを通る円の直径はＯＴ＝３である。

　よって、半径は、（３/２）である。

　∠ＯＲＴ＝９０°で、三平方の定理より、　ＲＴ²＝ＯＴ²−ＯＲ²＝５４−５＝４９　なので、

　ＲＴ＝７　となる。　　（終）


（コメント）　中心角の半分が円周角に等しいという事実が効果的に要求されていますね！


　次は、【数学ＩＩ・Ｂ 】の問題に挑戦です。

【 数学ＩＩ・Ｂ 】

第１問［１］（２）　sin ｘ と sin 2ｘ の値の大小関係を詳しく調べよう。

　sin 2ｘ - sin ｘ = 2sin ｘ cos ｘ - sin ｘ = sin ｘ （2cos ｘ - 1）　であるから、

　　sin 2x - sin x ＞0 が成り立つことは、

　「sin x ＞ 0　かつ　2cos ｘ - 1＞ 0」　・・・　�@

または

　「sin x ＜ 0　かつ　2cos ｘ - 1＜ 0」　・・・　�A

が成り立つことと同値である。

　0 ≦ｘ≦2π のとき、�@、�Aが成り立つような ｘ の値の範囲をそれぞれ求めよ。

（３）　sin 3ｘ と sin 4ｘ の値の大小関係を調べよう。

　三角関数の加法定理を用いて、等式 sin (α+β） - sin (α-β）= 2cosαsinβ　・・・　�B

が得られる。α+β = 4ｘ　、α-β = 3ｘ　を満たすα、βに対して�Bを用いることにより、

　sin 4x - sin 3x ＞ 0 が成り立つことは

　「cos （7/2）ｘ ＞ 0　かつ　sin （1/2）ｘ ＞ 0」　・・・　�C

または

　「cos （7/2）ｘ ＜ 0　かつ　sin （1/2）ｘ ＜ 0」　・・・　�D

が成り立つことと同値である。

　0 ≦ｘ≦π のとき、sin 4x ＞ sin 3x　が成り立つような ｘ の値の範囲を求めよ。

（４）　（２）（３）の考察から、0 ≦ｘ≦π のとき、sin 3x ＞ sin 4x ＞ sin 2x　が成り立つような
　　　ｘ の値の範囲を求めよ。

（解）［１］（２）　0 ＜ ｘ ＜ π/3　、π ＜ ｘ ＜ 5π/3

（３）　0 ≦ｘ≦π のとき、0 ≦（7/2）ｘ≦（7/2）π なので、cos （7/2）ｘ ＞ 0　となるのは、

　　0 ＜ （7/2）ｘ ＜ π/2　、（3/2）π ＜ （7/2）ｘ ＜ （5/2）π

　すなわち、　0 ＜ ｘ ＜ π/7　、（3/7）π ＜ ｘ ＜ （5/7）π

同様に、　0 ≦（1/2）ｘ≦（1/2）π のとき、　sin （1/2）ｘ ＞ 0　となるのは、

　0 ＜（1/2）ｘ≦（1/2）π　すなわち、　0 ＜ｘ ≦π

以上から、�Cの解は、　0 ＜ ｘ ＜ π/7　、（3/7）π ＜ ｘ ＜ （5/7）π

　また、0 ≦（1/2）ｘ≦（1/2）π から、�Dの解はない。

よって、sin 4x ＞ sin 3x　が成り立つような ｘ の値の範囲は、

　　0 ＜ ｘ ＜ π/7　、（3/7）π ＜ ｘ ＜ （5/7）π

（４）　（２）（３）より、sin 3x ＞ sin 4x が成り立つような ｘ の値の範囲は、

　　π/7 ＜ ｘ ＜ （3/7）π　、（5/7）π ＜ ｘ ＜ π

　また、sin 4x ＞ sin 2x　が成り立つような ｘ の値の範囲は、

　　0 ＜ 2ｘ ＜ π/3　、π ＜ 2ｘ ＜ 5π/3

すなわち、　0 ＜ ｘ ＜ π/6　、π/2 ＜ ｘ ＜ 5π/6

よって、sin 3x ＞ sin 4x ＞ sin 2x　が成り立つような ｘ の値の範囲は、

　　π/7 ＜ ｘ ＜ π/6　、（5/7）π ＜ ｘ ＜ （5/6）π　　（終）

［２]（１）　a＞ 0 、ａ≠1、ｂ＞ 0 のとき、ｌｏｇ_ａ ｂ = ｘ とおくとき、ｂ を ａ と ｘ で表せ。

（２）　様々な対数の値が有理数か無理数かについて考えよう。

（イ）　ｌｏｇ₅ 25　、ｌｏｇ₉ 27　を求め、どちらも有理数であることを示せ。

（ロ）　ｌｏｇ₂ 3 が有理数と無理数のどちらであるかを考えよう。

　ｌｏｇ₂ 3 が有理数であると仮定すると、ｌｏｇ₂ 3 ＞ 0 であるので、二つの自然数 ｐ、ｑ を用

いて ｌｏｇ₂ 3 = ｐ/ｑ と表すことができる。このとき、（１）により、2^ｐ = 3＾ｑ と変形できる。い

ま、2 は偶数であり 3 は奇数であるので、2^ｐ = 3＾ｑ を満たす自然数 ｐ、ｑ は存在しない。

したがって、ｌｏｇ₂ 3 は無理数であることがわかる。

　ａ、ｂを 2 以上の自然数とするとき、上と同様に考えて、ｌｏｇ_ａ ｂ がつねに無理数であるた

めの条件を調べよ。

（解）（１）　ｂ=ａ^ｘ　である。

（２）（イ）　ｌｏｇ₅ 25 = 2　、ｌｏｇ₉ 27 = 3/2　で、どちらも有理数である。

（ロ）　ａ、ｂ のいずれか一方が偶数で、もう一方が奇数であればよい。　　（終）


第２問[１]（１） ｋを正の定数とし、３次関数 ｆ(x) = x^2（ｋ - x ) を考える。

（イ）　y = f(x) のグラフと ｘ 軸との共有点の座標を求めよ。

（ロ）　f(x) の導関数 ｆ’（ｘ）を求めよ。

（ハ）　極値とそれを与える ｘ の値を求めよ。

（解）（イ）　x^2（ｋ - x ) = 0 から、ｘ = 0　、ｋ

　　よって、ｘ 軸との共有点の座標は、（0 ，0）、（ｋ ，0）

（ロ）　ｆ’（ｘ） = 2ｋｘ-3ｘ^2

（ハ）　2ｋｘ-3ｘ^2 = 0　より、　ｘ = 0 、2k/3

　　　ｘ = 0 のとき、ｆ(x) は極小値 0 をとる。

　　　ｘ = 2k/3 のとき、ｆ(x) は極大値 4k^3/27 をとる。　　（終）

（２）　下図のように底面が半径 9 の円で高さが 15 の円錐に内接する円柱を考える。

　　　

（イ）　円柱の底面の半径と体積をそれぞれれ ｘ 、Ｖ とする。Ｖを ｘ の式で表せ。

（ロ）　（１）の考察より、Ｖが最大になる ｘ の値を求めよ。また、Ｖの最大値を求めよ。

（解）（イ）　円柱の高さをｈとすると、　9 ： 15 = ｘ ： 15-ｈ　なので、

　　9（15-ｈ） = 15ｘ　より、　ｈ = 15 - （5/3）ｘ

　よって、　Ｖ = πｘ^2・ｈ = (5/3)πx^2（9 - x ) 　（0 ＜ ｘ ＜ 9）

（ロ）　（１）より、ｘ = 6　のとき、Ｖは最大で、最大値は、180π　　（終）

[２]（１）　次の問いに答えよ。

（イ）　定積分　∫₀³⁰ （ｘ/5＋3）ｄｘ　を求めよ。

（ロ）　不定積分　∫（（ｘ^2）/100-ｘ/6＋5）ｄｘ　を求めよ。ただし、積分定数はＣとする。

（解）（イ）　∫₀³⁰ （ｘ/5＋3）ｄｘ = [（ｘ^2）/10＋3ｘ]₀³⁰ = 180

(ロ）　∫（（ｘ^2）/100-ｘ/6＋5）ｄｘ = （ｘ^3）/300-ｘ^2/12＋5ｘ＋Ｃ

（２）　ある地域では、毎年3月頃「ソメイヨシノの開花予想日」が話題になる。太郎さんと花子
　　さんは、開花日時を予想する方法の一つに、2月に入ってからの気温を時間の関数とみ
　　て、その関数を積分した値をもとにする方法があることを知った。ソメイヨシノの開花日時
　　を予想するために、二人は、6時間ごとの気温の折れ線グラフを見ながら、次のように考
　　えることにした。

　ｘ の値の範囲を0以上の実数全体として、2月1日午前0時から24ｘ時間経った時点を ｘ 日
後とする。また、ｘ 日後の気温を y ℃とする。このとき、ｙ は ｘ の関数であり、これを y = f(x)
とおく。ただし、ｙ は負にはならないものとする。

　気温を表す関数 f(x) を用いて二人はソメイヨシノの開花日時を次の設定で考えることにし
た。

【設定】　正の実数 t に対して、f(x) を 0 から t まで積分した値をS(t)とする。すなわち、
　　　　S(t) = ∫₀^t f(x)dx とする。このS(t)が 400 に到達したとき、ソメイヨシノが開花する。

　【設定】のもと、太郎さんは気温を表す関数 ｙ = ｆ（ｘ） のグラフを直線とみなしてソメイヨシノ
の開花日時を考えることにした。

（イ）　太郎さんは　f(x) = x/5 + 3 （ｘ≧ 0)　として考えた。このとき、ソメイヨシノの開花日時
　　　は 2 月に入ってから何日後となるか。

（ロ）　太郎さんと花子さんは、2 月に入ってから 30 日後以降の気温について話をしている。

　太郎：１次関数を用いてソメイヨシノの開花日時を求めてみたよ。
　花子：気温の上がり方から考えて、2 月に入ってから 30 日後以降の気温を表す関数が
　　　　2次関数の場合も考えてみようか。

　花子さんは気温を表す関数 f(x) を、0 ≦ ｘ ≦ 30 のときは太郎さんと同じように

　f(x) = x/5 + 3　・・・　�@

とし、ｘ ≧ 30 のときは = （ｘ^2）/100-ｘ/6＋5 ・・・　�A

として考えた。なお、x = 30 のとき �@の右辺の値と�Aの右辺の値はー致する。花子さんの

考えた式を用いて、ソメイヨシノの開花日時を考えよう。

（１）より　∫₀³⁰ （ｘ/5＋3）ｄｘ = 180　であり、∫₃₀⁴⁰ （（ｘ^2）/100-ｘ/6＋5）ｄｘ = 115 となる

ことがわかる。また、ｘ ≧ 30 の範囲において f(x) は増加する。よって

　∫₃₀⁴⁰ （（ｘ^2）/100-ｘ/6＋5）ｄｘ　＜　∫₄₀⁵⁰ （（ｘ^2）/100-ｘ/6＋5）ｄｘ

である。このとき、ソメイヨシノの開花日時は 2 月に入ってから何日後となるか。

（解）（イ） ∫₀^t （ｘ/5＋3）ｄｘ = (t^2)/10＋3t = 400　より、　(t^2) + 30t - 4000 = 0

これを解いて、ｔ = 50　なので、ソメイヨシノの開花日時は 2 月に入ってから 50日後となる。

（ロ）　∫₀³⁰ （ｘ/5＋3）ｄｘ = 180　で、∫₃₀⁴⁰ （（ｘ^2）/100-ｘ/6＋5）ｄｘ = 115

　さらに、∫₄₀⁵⁰ （（ｘ^2）/100-ｘ/6＋5）ｄｘ = 178＋1/3　なので、S(t)が 400 に到達する t は

　40＜ ｔ ＜50　である。よって、ソメイヨシノの開花日時は 2 月に入ってから 40 日後より後、

かつ 50 日後より前となる。


（コメント）　（ロ）では、∫₄₀⁵⁰ （（ｘ^2）/100-ｘ/6＋5）ｄｘ の計算をしたが、40 日後の気温の
　　　　　　上昇を考えれば、開花日時が 50 日後より前になることは明らかだろう。計算は
　　　　　　不要だったということだ。

　　文章量が非常に多い割りに問われる内容が乏しく、時間制約のある試験問題としては
　不適切ではないだろうか。


　第３問〜第５問は選択問題である。２問を選択し解答すればよい。

第３問　以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて正規分布表を用いてもよい。

（１）　ある生産地で生産されるピーマン全体を母集団とし、この母集団におけるピーマン１個
　　の重さ(単位は g )を表す確率変数をXとする。ｍとσを正の実数とし、Xは正規分布
　　N（ｍ，σ^2)に従うとする。

（イ）　この母集団から１個のピーマンを無作為に抽出したとき、重さが m g 以上である確率
　　P(X≧ｍ) を求めよ。

（ロ）　母集団から無作為に抽出された大きさ"の標本 X1，X2，・・・，Xｎ の標本平均をと
　　する。の平均(期待値) Ｅ（）と標準偏差 σ（）をそれぞれ求めよ。

（ハ）　ｎ = 400 、標本平均が 30．0 g 、標本の標準偏差が 3．6 g のとき、ｍの信頼度 90 %
　　の信頼区間を次の方針で求めよう。

【方針】　Zを標準正規分布 N( 0 ， 1 )に従う確率変数として、P( -ｚ₀ ≦Z≦ ｚ₀ ) = 0．901 と
　　　　なる z₀ を正規分布表から求める。この z₀ を用いるとｍの信頼度 90．1 % の信頼区
　　　　間が求められるが、これを信頼度 90 % の信頼区間とみなして考える。

　【方針】における z₀ を求めよ。

　一般に、標本の大きさｎが大きいときには、母標準偏差の代わりに、標本の標準偏差を用
いてよいことが知られている。

（ニ）　ｎ = 400 は十分に大きいので、【方針】に基づいて、ｍの信頼度 90 % の信頼区間を
　　求めよ。

（解）（イ）　P(X≧ｍ) = P(（X - ｍ）/σ≧ 0 ) = 1/2

（ロ）　Ｅ（） = ｍ　、σ（） = σ/√ｎ

（ハ）　標準正規分布表から、P( 0 ≦Z≦ 1．65 ) = 0．901÷2 = 0．4505　なので、z₀ = 1．65

（ニ）　- 1．65 ≦（30．0 - ｍ）/（3．6/√400）≦1．65　より、

　　　- 1．65 × 0．18 ≦30．0 - ｍ≦ 1．65 × 0．18

　即ち、　30．0 - 0．297 ≦ ｍ ≦ 30．0 - 0．297　より、　29．703 ≦ ｍ ≦ 30．297

　よって、　29．7 ≦ ｍ ≦ 30．3　と言える。　　（終）

（２）　（１）の確率変数Xにおいて、ｍ = 30．0、σ = 3．6 とした母集団から無作為にピーマン
　　を１個ずつ抽出し、ピーマン２個を１組にしたものを袋に入れていく。このようにしてピー
　　マン２個を１組にしたものを 25 袋作る。その際、１袋ずつの重さの分散を小さくするため
　　に、次のピーマン分類法を考える。

【ピ−マン分類法】
　無作為に抽出したいくつかのピーマンについて、重さが 30．0 g 以下のときをSサイズ、
30．0 g を超えるときはLサイズと分類する。そして、分類されたピーマンからSサイズとLサ
イズのピーマンを一つずつ選ぴ、ピーマン２個を１組とした袋を作る。

（イ）　ピーマンを無作為に 50 個抽出したとき、【ピーマン分類法】で 25 袋作ることができる
　　確率 ｐ₀ を考えよう。無作為に１個抽出したピーマンがSサイズである確率を求めよ。

（ロ）　ピーマンを無作為に 50 個抽出したときのSサイズのピーマンの個数を表す確率変数
　　をＵ₀とすると、Ｕ₀は二項分布Ｂ（50 ，1/2）に従うことから、ｐ₀ を求めよ。

　ｐ₀ を計算すると、ｐ₀ = 0．1122・・・　となることから、ピーマンを無作為に 50 個抽出したと
き、25 袋作ることができる確率は 0．11 程度とわかる。

　【ピーマン分類法】で 25 袋作ることができる確率が 0．95 以上となるようなピーマンの個数
を考えよう。

　ｋを自然数とし、ピーマンを無作為に (50 + ｋ) 個抽出したとき、Sサイズのピーマンの個数
を表す確率変数をＵ_ｋとすると、Ｕ_ｋは二項分布Ｂ（50 + ｋ ，1/2)に従う。

　(50 + ｋ) は十分に大きいので、Ｕ_ｋは近似的に正規分布Ｎ（ｍ，σ²）に従う。

（ハ）　ｍ、σを求めよ。

（ニ）　Ｙ＝（Ｕ_ｋ−ｍ）/σ　とすると、Ｙは近似的に標準正規分布N( 0 ， 1 )に従う。

　このとき、【ピーマン分類法】で、25 袋作ることができる確率 ｐ_k を求めよ。

（ホ）　ｋ = α　、√(50 + ｋ)=β とおく。

　ｐ_k≧ 0.95 になるような α/β について、正規分布表から α/β≧1．96 を満たせばよい

ことが分かる。ここでは、α/β≧ 2　・・・　�@　を満たす自然数 ｋ を考えることとする。

　�@の両辺は正であるから、α²≧４β²　を満たす最小の ｋ を ｋ₀ とするとき、ｋ₀ の値を

求めよ。ただし、ｋ₀ の計算においては、√51 = 7．14 を用いてもよい。

したがって、少なくとも (50 + ｋ₀)個のピーマンを抽出しておけば、【ピーマン分類法】で 2 5袋

作ることができる確率は 0． 95 以上となる。

（解）（イ）　50 個のうち 25 個はSサイズなので、求める確率は、1/2 である。

（ロ）　Ｕ₀は二項分布Ｂ（50 ，1/2）に従うので、ｐ₀ = ₅₀Ｃ₂₅（1/2）²⁵（１ - 1/2）^50-25 となる。

（ハ）　ｍ = (50 + ｋ)/2　、σ² = (50 + ｋ)/4　より、　σ = ｛√(50 + ｋ)｝/2

（ニ）　Ｙ＝（Ｕ_ｋ−(50 + ｋ)/2）/［｛√(50 + ｋ)｝/2］　とすると、Ｙは近似的に標準正規分布

　　N( 0 ， 1 )に従うので、

　ｐ_ｋ = Ｐ（25≦Ｕ_ｋ≦25 + ｋ） = Ｐ（ - ｋ/√(50 + ｋ)≦Y≦ｋ/√(50 + ｋ)）

（ホ）　α²≧４β²　より、　ｋ²≧ 4(50 + ｋ)　すなわち、　ｋ≧ 2 + 2√51 = 16．28

　よって、自然数 ｋ の最小値 ｋ₀ は、17 である。　　（終）


第４問　　花子さんは、毎年の初めに預金口座に一定額の入金をすることにした。この入金
　を始める前における花子さんの預金は 10 万円である。預金には年利 1 % で利息がつくも
　のとする。
　　毎年の初めの入金額をｐ万円とし、ｎ年目の初めの預金をａ_ｎ万円とおく。ただし、ｐ＞ 0
　とし、ｎは自然数とする。例えば、ａ₁ = 10 + ｐ 、ａ₂ = 1．01（10 + ｐ） + ｐ　である。

（１）　ａ_ｎを求めるために二つの方針で考える。

【方針１】　ｎ年目の初めの預金と（ｎ + 1）年目の初めの預金との関係に着目して考える。

（イ）　３年目の初めの預金ａ₃万円を求めよ。

（ロ）　すべての自然数ｎについて、漸化式を作り、それを解け。

【方針２】　もともと預金口座にあった 10 万円と毎年の初めに入金したｐ万円について、ｎ年
　　　　　目の初めにそれぞれがいくらになるかに着目して考える。

　もともと預金口座にあった 10 万円は、2 年目の初めには 10 X1．01万円になり、3 年目の
初めには 10 × 1．01²万円になる。同様に考えるとｎ年目の初めには 10 × 1．01^ｎ-1 万円
になる。

（ハ）　1 年目の初めに入金したｐ万円は、ｎ年目の初めにはいくらになるか。

（ニ）　2 年目の初めに入金したｐ万円は、ｎ年目の初めにはいくらになるか。

（ホ）　ｎ年目の初めに入金したｐ万円は、ｎ年目の初めにはｐ万円のままである。
　　　これより、ａ_ｎを求めよ。

（解）（イ）　ａ₃ = 1．01（1．01（10 + ｐ） + ｐ）+ ｐ

（ロ）　ａ_ｎ+1 = 1．01ａ_ｎ + ｐ　より、　ａ_ｎ+1 + 100ｐ = 1．01（ａ_ｎ + 100ｐ）

　　よって、　ａ_ｎ + 100ｐ = 1．01^ｎ-1（ａ₁ + 100ｐ） = 1．01^ｎ-1（10 + 101ｐ）　より、

　　ａ_ｎ = 1．01^ｎ-1（10 + 101ｐ） - 100ｐ

（ハ）　ｐ × 1．01^ｎ-1（万円）

（ニ）　ｐ × 1．01^ｎ-2（万円）

（ホ）　ａ_ｎ = 10 × 1．01^ｎ-1 + ｐ + ｐ × 1．01 + ・・・ + ｐ × 1．01^ｎ-1　より、

　ａ_ｎ = 10 × 1．01^ｎ-1 + 100ｐ × (1．01^ｎ - 1）　　（終）

（２）　花子さんは、10 年目の終わりの預金が 30 万円以上になるための入金額について考
　　えた。

　10 年目の終わりの預金が 30 万円以上であることを不等式で表し、ｐ について解け。

　したがって、毎年の初めの入金額が例えば 18000 円であれば、10 年目の終わりの預金
が30万円以上になることがわかる。

（解）　1．01×ａ₁₀ ≧ 30　より、　1．01¹⁰（10 + 101ｐ） - 101ｐ ≧ 30　なので、

　　ｐ ≧ （ 30 - 10×1．01¹⁰）/｛101（1．01¹⁰ - １）｝

　ここで、1．01¹⁰ = 1．104622　なので、ｐ ≧ 1．7937　となり、毎年の初めの入金額が

18000 円であれば、10 年目の終わりの預金は 30 万円以上になる。

（３）　１年目の入金を始める前における花子さんの預金が 10 万円ではなく、13 万円の場合
　　を考える。すべての自然数ｎに対して、この場合のｎ年目の初めの預金はａ_ｎ万円よりも
　　いくら多くなるか。なお、年利は 1 %であり、毎年の初めの入金額はｐ万円のままである。

（解）　3 × 1．01^ｎ-1（万円）　だけ多い。　　（終）


（コメント）　複利計算からの元利均等払いローン返済の計算になることを期待したが、そう
　　　　　　でもなかった。【方針１】と【方針２】にそれほどの違いはなく、同じ計算をさせてい
　　　　　　る点が残念です。


第５問　　三角錐PABCにおいて、辺BCの中点をMとおく。また、∠PAB = ∠PAC とし、この
　角度をθとおく。ただし、0°＜θ＜ 90°とする。

（１）　AMをAB、ACで表せ。

（２）（イ）　θ = 45°とし、さらに

　｜AP｜= 3　、｜AB｜=｜PB｜= 3　、｜AC｜=｜PC｜= 3

が成り立つ場合を考える。このとき　AP・AB = AP・AC　の値を求めよ。

（ロ）　さらに、直線AM上の点Dが∠APD = 90°を満たしているとする。
　　このとき、AD = ｋAM となる実数 ｋ を求めよ。

（解）（１）　AM = （1/2）AB + （1/2）AC

（２）（イ）　AP・AB = AP・AC = 3×3×ｃｏｓ45°= 9

（ロ）　AD = （ｋ/2）AB + （ｋ/2）AC　より、　PD = （ｋ/2）AB + （ｋ/2）AC - AP

　∠APD = 90°なので、　ＡＰ・PD = 0　より、　9ｋ/2 + 9ｋ/2 - 18 = 0

　よって、　ｋ = 2　　（終）

（３）　AQ = 2AM で定まる点をQとおく。PAとPQが垂直である三角錐PABCはどのような
　　ものかについて考えよう。例えば（２）の場合では、点Qは点Dと一致し、PAとPQは垂直
　　である。

（イ）　PAとPQが垂直であるとき、AP・PQをAB、AC、APを用いて表せ。

（ロ）　さらに、AP・AB/（｜AP｜｜AB｜） = AP・AC/（｜AP｜｜AC｜） = ｃｏｓθ　に注
　　意して成り立つ関係式を求めよ。

　したがって、PAとPQが垂直であれば、関係式（ロ）が成り立ち、逆に、（ロ）が成り立てば、
PAとPQが垂直である。,

（ハ）　ｋ を正の実数とし　ｋAP・AB = AP・AC が成り立つとする。このとき成り立つ関係式
　　を求めよ。

（二）　また、点Bから直線APに下ろした垂線と直線APとの交点をB’とし、同様に点Cから直
　　線APに下ろした垂線と直線APとの交点をC’とする。
　　　このとき、PAとPQが垂直であることと同値なことは何か。

（ホ）　特に　k = 1 のとき、PAとPQが垂直であることと同値なことは何か。

（解）（イ）　AQ = AB + AC　より、　PQ = AB + AC - AP　なので、

　　ＡＰ・PQ = AP・AB + AP・AC - AP・AP = 0 より、AP・AB + AP・AC = AP・AP

（ロ）　｜AP｜｜AB｜ｃｏｓθ + ｜AP｜｜AC｜cosθ = ｜AP｜²

　すなわち、　｜AB｜ｃｏｓθ + ｜AC｜cosθ = ｜AP｜　が成り立つ。

（ハ）　（ロ）と同様にして、　ｋ｜AP｜｜AB｜ｃｏｓθ = ｜AP｜｜AC｜cosθ　より、

　ｋ｜AB｜ = ｜AC｜　が成り立つ。

（ニ）　（ロ）より、　｜AB｜ｃｏｓθ + ｜AC｜cosθ = ｜AP｜　なので、

　AB’ + AC’= AP　が言える。また、△AB’B∽△AC’C　で、（ハ）より、　ｋAB = AC なので、

　ｋAB’ = AC’　である。よって、　（１ + ｋ）AB’= AP　より、B’はAPを １ ： ｋ に内分する。

　同様にして、　（１/ｋ + １）AC’ = AP　より、　AC’ ： AP = ｋ ： ｋ+１ すなわち、

　AC’： C’P = ｋ ： １　なので、C’はAPを ｋ ： １ に内分する。

（ホ）　ｋ = 1 のとき、Ｂ’、Ｃ’はともにＡＰの中点で、ＡＰ⊥BB’、ＡＰ⊥CC’より、

　△BAP、△CAPは、それぞれ BA = BP、CA = CP の二等辺三角形となる。　　（終）