(1) 1234*x^567≡89 (mod 101)
(2) 98*x^76543≡21 (mod 101)
らすかるさんからのコメントです。（令和４年１２月９日付け）
全部手計算で、電卓も使いませんでした。(mod 101)は省略します。
(1) x≡0 は解にならないので、 x^100≡1
また、1234≡22 なので、 1234*x^567≡22*x^67
22y≡89 とすると、22y-101n=89 より、22(y-4)-101n=1 すなわち、22(y-4-5n)+9n=1
9{2(y-4-5n)+n}+4(y-4-5n)=1 より、 9(2y-8-9n)+4(y-4-5n)=1
2y-8-9n=1 、y-4-5n=-2 を解くと、 y=27 、n=5
よって、22y≡89 の解は、y≡27 なので、x^67≡27 を解けばよい。
x^201≡27^3=19683≡89 なので、 x≡89
(2) x≡0 は解にならないので、 x^100≡1
また、98≡-3 なので、 98*x^76543≡-3*x^43 より、3*x^43≡-21 すなわち、x^43≡-7
よって、 x^301≡(-7)^7=-343*2401≡-40*78≡-3120≡-90≡11 から、 x≡11
以下、工事中！
