２行２列の単位行列をＥ とします。Ｘ、Ｙ、Ｚ を、成分が複素数であるところの２行２列の行
列とします。ａ、ｂ、ｃ を実数（スカラー）とします。
任意の ａ、ｂ、ｃ について、
(ａ^2 +ｂ^2 +ｃ^2)*Ｅ = (ａ*Ｘ +ｂ*Ｙ +ｃ*Ｚ)^2
が成り立つように、Ｘ、Ｙ、Ｚ を【ひとくみ】定めてください。
＃これを考えたのは、とある高名な物理学者です。天才。ａ^2 +ｂ^2 +ｃ^2 を因数分解して
しまっています。
ｋｓ さんからのコメントです。（令和４年１２月７日付け）
ω^3=1 を成分にもつ行列かな？
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和４年１２月７日付け）
私も真似させてもらって、４行４列の単位行列をＥとします。V、W、X、Y、Zを、成分が複素
数であるところの４行４列の行列とします。ａ、ｂ、ｃ、ｄ、e を実数（スカラー）とします。
任意の ａ、ｂ、ｃ、d、 e について、
(ａ^2 )*Ｅ = (ａ*V )^2
(ａ^2 +ｂ^2 )*Ｅ = (ａ*V +ｂ*W )^2
(ａ^2 +ｂ^2 +ｃ^2 )*Ｅ = (ａ*V +ｂ*W +ｃ*X )^2
(ａ^2 +ｂ^2 +ｃ^2 + d^2)*Ｅ = (ａ*V +ｂ*W +ｃ*X + d*Y)^2
(ａ^2 +ｂ^2 +ｃ^2 + d^2 + e^2)*Ｅ = (ａ*V +ｂ*W +ｃ*X + d*Y + e*Z)^2
(ａ^2 +ｂ^2 +ｃ^2 + d^2 + e^2)^k*Ｅ = (ａ*V +ｂ*W +ｃ*X + d*Y + e*Z)^(2*k) (k=2,3,4,･････)
が成り立つように、V、W、X、Y、Zを一組見つけて下さい。
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和４年１２月７日付け）
掲示板における行列の表記法がよくわかりませんでしたので、OEISの真似をします。
２行２列の単位正方行列Ｅを、[1,0; 0,1] と書きます。行ごとの delimiter として ; で表すつ
もりです。
Ｘ = [0, 1 ;1, 0] 、Ｙ = [0,-i ;i, 0] 、Ｚ = [1, 0 ;0,-1]
としておくと、任意の実数 a、b、c について、 (ａ^2 +ｂ^2 +ｃ^2)*Ｅ = (ａ*Ｘ +ｂ*Ｙ +ｃ*Ｚ)^2
となります。
パウリ行列として知られているようです。
（コメント） なるほど！綺麗な結果ですね。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和４年１２月８日付け）
四元数の i、j、k を用いると、 a^2+b^2+c^2= - (a*i + b*j + c*k)^2 としていいのかな？
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和４年１２月８日付け）
GAIさんによる次のお題につきまして。
(ａ^2 +ｂ^2 +ｃ^2 +ｄ^2)*Ｅ = (ａ*Ｖ +ｂ*Ｗ +ｃ*Ｘ +ｄ*Ｙ)^2
Ｖ = [0,0,0,1; 0,0,1,0; 0,1,0,0; 1,0,0,0]
Ｗ = [0,0,0,-i; 0,0,i,0; 0,-i,0,0; i,0,0,0]
Ｘ = [0,0,1,0; 0,0,0,-1; 1,0,0,0; 0,-1,0,0]
Ｙ = [1,0,0,0; 0,1,0,0; 0,0,-1,0; 0,0,0,-1]
とするとよいようですね。
上は、物理学者ディラックが示したものを、GAIさんの表現にあわせたものです。ディラック
は上述のパウリ行列を拡張しました。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和４年１２月９日付け）
Z=[0,0,i,0;0,0,0,i;-i,0,0,0;0,-i,0,0]
で行けると思います。パウリとディラックは、こんな型で繋がっているんですね。
以下、工事中！
