方程式　ｘ＾3＋ｙ＾3＝ｚ＾3　や　ｘ＾2＋ｙ＾2＝ｚ＾2　の整数解の個数は、無限にあります。
例えば、(0，t，t)　（ｔ は任意の整数）　など。

　解の個数が有限個であるような方程式を教えてください。


　らすかるさんからのコメントです。（令和４年１２月６日付け）

x^2+y^2=5^2　、0＜x＜y　 : 整数解1個
x^2+y^2=(5^2)^2　、0＜x＜y : 整数解2個
x^2+y^2=(5^3)^2　、0＜x＜y : 整数解3個
x^2+y^2=(5^4)^2　、0＜x＜y : 整数解4個
x^2+y^2=(5^5)^2　、0＜x＜y : 整数解5個
・・・
x^2+y^2=(5^n)^2　、0＜x＜y : 整数解n個
・・・


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和４年１２月７日付け）

　x^2+y^2=(5^n)^2　、0＜x＜y : 整数解n個

は、　x^2+y^2=(5*n)^2　、0＜x＜y : 整数解n個　ではないでしょうか？


　らすかるさんからのコメントです。（令和４年１２月７日付け）

　違います。実際に、

x^2+y^2=5^2　、0＜x＜y：整数解1個　→　(3,4)のみ
x^2+y^2=10^2　、0＜x＜y：整数解1個　→　(6,8)のみ
x^2+y^2=15^2　、0＜x＜y：整数解1個　→　(9,12)のみ
x^2+y^2=20^2　、0＜x＜y：整数解1個　→　(12,16)のみ
x^2+y^2=25^2　、0＜x＜y：整数解2個　→　(7,24)と(15,20)
x^2+y^2=30^2　、0＜x＜y：整数解1個　→　(18,24)のみ

のようになりますので、明らかに、「(5*n)^2」では合いません。

「(5^n)^2」ならば、

x^2+y^2=5^2　、0＜x＜y：整数解1個　→　(3,4)のみ
x^2+y^2=25^2　、0＜x＜y：整数解2個　→　(7,24)と(15,20)
x^2+y^2=125^2　、0＜x＜y：整数解3個　→　(35,120)と(44,117)と(75,100)
x^2+y^2=625^2　、0＜x＜y：整数解4個　→　(175,600)と(220,585)と(336,527)と(375,500)

のように確かに合います。


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和４年１２月８日付け）

　あ〜そうだ！完全に勘違いしていた。でも、よくこんな例を思いつきますね。


　ｋｓ さんからのコメントです。（令和４年１２月８日付け）

　条件を入れると、より難しくなる印象でしたが、一律に求めて、すごいですね。

　フェルマーの元来の問題は、自然数解は存在しないでした。うっかりしてました。

　整数解の条件だと、奇数の場合、（ｔ、−ｔ、０）もあり、無限個ありますね。

　整数解のない式は、２ｘ＾２＋２ｙ＝１　・・・　面白くない式ですが。

ｘ＾2＋ｙ＾2＝０　・・・　（0，0） 一個のみ
ｙ＾3＝ｘ＾2＋２　・・・　(ｘ，ｙ)=（5，3）、（-5，3） 二個のみ
ｙ＾2＝ｘ＾3　・・・　(ｘ，ｙ)=（4，8）（4，-8） でしょうか？
ｙ＾3＝ｘ＾2＋１　・・・　解は無し
ｙ＾2＝ｘ＾3＋１　・・・　(ｘ，ｙ)=（2，3）、（2，-3）

　一般に、解の個数は確定するのが難しいそうなので、知られている限りでどうでしょうか？


　らすかるさんからのコメントです。（令和４年１２月８日付け）

y^2=x^3 の解は (x,y)=(t^2,±t^3) で無限個
y^3=x^2+1 の解は (x,y)=(0,1)
y^2=x^3+1 の解は (x,y)=(-1,0),(0,±1),(2,±3)

　ちなみに、

　x^2+y^2=(5^n)^2　、0＜x＜y : 整数解n個

の「5」は、4n+1型の素数(5,13,17,29,37,…)なら何でもOKだと思います。


　ｋｓ さんからのコメントです。（令和４年１２月９日付け）

　らすかるさん、いつもありがとうございます。

解4個の場合　ｘ＾2＋ｙ＾2＝１　・・・　（±1，0）、（0，±１）
解８個の場合　ｘ＾2＋ｙ＾2＝25　・・・　（±3，±4）、（±4，±3）

　ｘ の一文字だけで、 （ｘ−1）（ｘ−2）…（ｘ−ｎ）＝０


　ｋｓ さんからのコメントです。（令和４年１２月１１日付け）

　整数解３個の場合：　ｙ＾2＝ｘ＾3−ｘ　（−1，0）、（0，0）、（1，0）

　整数解６個場合：　ｙ（ｙ−1）＝ｘ＾3−ｘ　（−1，0）、（0，0）、（1，0）、（−1，1）、（0，1）、（1，1）


　らすかるさんからのコメントです。（令和４年１２月１１日付け）

　y(y-1)=x^3-x　の解は他にもありますので、６個ではありません。

　(x,y)=(2,3)、(2,-2)、(6,15)、(6,-14)


　ｋｓ さんからのコメントです。（令和４年１２月１１日付け）

　右辺の値が、６になる場合、直ぐに気づかれたみたいですね。これだと、１０個の解という
ことになりますが？６，７，９個に挑戦します。


　らすかるさんからのコメントです。（令和４年１２月１１日付け）

　これだと、１０個の解ということになりますが？

　そうですね。でもその10個以外に解がないかどうかはわかりません。


　ｋｓ さんからのコメントです。（令和４年１２月１２日付け）

　６個の整数解を持つ方程式：（ｙ（ｙ−１））＾2＝ｘ（ｘ−１）（ｘ＋１）

解は、（0，0）、（0，1）、（1，0）、（1，1）、（−1，0）、（−1，1）


　らすかるさんからのコメントです。（令和４年１２月１３日付け）

　x^2+y^2=(5^n)^2　、0＜x＜y　の整数解はｎ個ですが、変数の大小関係の条件がない２変
数の方程式で、整数解が任意の個数になるものを考えると、

　(4x+1)^2+y^2=25^n の整数解は、2n+1個（n≧0）

　4x^2+y^2=5^n の整数解は、2n+2個（n≧0）

のような例があり、任意の自然数ｎに対して、整数解がｎ個である２変数方程式が存在する
ことがわかります。

＜解の具体値＞

解1個: (4x+1)^2+y^2=25^0　・・・　(0,0)

解2個: 4x^2+y^2=5^0　・・・　(0,±1)

解3個: (4x+1)^2+y^2=25^1　・・・　(-1,±4)、(1,0)

解4個: 4x^2+y^2=5^1　・・・　(±1,±1)

解5個: (4x+1)^2+y^2=25^2　・・・　(-4,±20)、(-2,±24)、(6,0)

解6個: 4x^2+y^2=5^2　・・・　(0,±5)、(±2,±3)

解7個: (4x+1)^2+y^2=25^3　・・・　(-19,±100)、(-9,±120)、(29,±44)、(31,0)

解8個: 4x^2+y^2=5^3　・・・　(±1,±11)、(±5,±5)

解9個: (4x+1)^2+y^2=25^4　・・・　(-132,±336)、(-94,±500)、(-44,±600)、(146,±220)、(156,0)

解10個: 4x^2+y^2=5^4　・・・　(0,±25)、(±10,±15)、(±12,±7)

解11個: (4x+1)^2+y^2=25^5
　・・・　(-659,±1680)、(-469,±2500)、(-219,±3000)、(59,±3116)、(731,±1100)、(781,0)

解12個: 4x^2+y^2=5^5　・・・　(±5,±55)、(±19,±41)、(±25,±25)

解13個: (4x+1)^2+y^2=25^6
　・・・　(-3294,±8400)、(-2344,±12500)、(-1094,±15000)、(296,±15580)、(2938,±10296)、
　　　(3656,±5500)、(3906,0)

解14個: 4x^2+y^2=5^6　・・・　(0,±125)、(±22,±117)、(±50,±75)、(±60,±35)

解15個: (4x+1)^2+y^2=25^7
　・・・　(-19111,±16124)、(-16469,±42000)、(-11719,±62500)、(-5469,±75000)、
　　　(1481,±77900)、(14691,±51480)、(18281,±27500)、(19531,0)

解16個: 4x^2+y^2=5^7　・・・　(±25,±275)、(±95,±205)、(±125,±125)、(±139,±29)

解17個: (4x+1)^2+y^2=25^8
　・・・　(-95554,±80620)、(-82344,±210000)、(-58594,±312500)、(-27344,±375000)、
　　　(7406,±389500)、(41208,±354144)、(73456,±257400)、(91406,±137500)、(97656,0)

解18個: 4x^2+y^2=5^8
　・・・　(0,±625)、(±110,±585)、(±168,±527)、(±250,±375)、(±300,±175)

解19個: (4x+1)^2+y^2=25^9
　・・・　(-477769,±403100)、(-411719,±1050000)、(-292969,±1562500)、
　　　(-136719,±1875000)、(37031,±1947500)、(206041,±1770720)、(230519,±1721764)、
　　　(367281,±1287000)、(457031,±687500),(488281,0)

解20個: 4x^2+y^2=5^9
　・・・　(±125,±1375)、(±359,±1199)、(±475,±1025)、(±625,±625)、(±695,±145)


　ｋｓ さんからのコメントです。（令和４年１２月１４日付け）

　圧倒的な計算力ですね。

　ｙ＾2＝（ｘ＋１）（ｘ＋２）…（ｘ＋ｎ）　・・・　（−1，0）、（−2，0）、…、（−ｎ、0）

　右辺に一つでも素数があれば、その最大値をPとすると、２P＜N ではない。

　なぜなら、P＜２Pの間に新たな素数が必ず存在し、最大に反するからです。
そうすると、Pについて平方でなくなり、右辺が平方数になるときは、０のときです。

　素数がないとき、例えば、N!＋２、…、N!＋N　のときは分かりません．．．ので、他に、解
があるかも知れませんが．．．。


　らすかるさんからのコメントです。（令和４年１２月１４日付け）

　エルデシュ・セルフリッジの定理により、「連続する２つ以上の自然数の積は累乗数になら
ない」とのことですので、0以外の解はないようです。


　ｋｓ さんからのコメントです。（令和４年１２月１４日付け）

　らすかるさん、ありがとうございます。先人の肩に乗せて貰いました。難儀するところでし
た。ｙは、平方、累乗でもいいんですね！

　そういえば、自然数の連続数の和も、２の巾乗で表せないこと、興味深い！？


（コメント）　ｋｓさんの「自然数の」という条件では、２のべき乗では表せないですね。

　実際に、ａ、ｎ を自然数として、　ａ＋（ａ＋１）＋・・・＋（ａ＋ｎ−１）＝ｎ（２ａ＋ｎ−１）/２

　　ｎが偶数のとき、２ａ＋ｎ−１は奇数　、ｎが奇数のとき、２ａ＋ｎ−１は偶数

となり、ｎ（２ａ＋ｎ−１）/２は、２のべき乗にはなり得ない。


　ｋｓ さんからのコメントです。（令和４年１２月１５日付け）

　逆に、２のべき乗でなければ、連続数の和で表すことが可能。一意的ではないのが残念
ですが．．．。素数は、一意的なのかな？


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和５年３月１９日付け）

　らすかるさんの令和４年１２月１３日付けのコメントで、

　指定の個数の格子点を有する２変数方程式で、

　　2n+2個（n≧0）の偶数では、　4x^2+y^2=5^n

　　2n+1個（n≧0）の奇数では、　(4x+1)^2+y^2=25^n

ということが示されていた。

　偶然あるサイトに遭遇し、そこでは、

　n=2*k (k=1,2,3,･･･)では、　(x-1/2)^2+y^2=5^(k-1)/4

　n=2*k+1 (k=0,1,2,3,･･･)では、　(x-1/3)^2+y^2=5^(2*k)/9

が示されていた。これに従って、n：偶数での格子点を計算すると、

　　･･････････････

　一方、n：奇数では

　　････････････

と、確かに指定するだけの格子点を円周上に持っていることができました。

　更に関連項目を辿ると、「Circle Lattice Points」で、既にあのガウスが円と格子点での関
係を300年も前に認識していることを知らされた。今私たちは、やっとコンピュータの力を借
りながら、天才たちが見ていた世界を確認できる。



　　以下、工事中！