を満たす整数(x,y,z)は多数存在するが、何れも -100<x,y,z<100 で素数となっている組(x,y,z)
は如何なるものがあるか？(マイナスの符号をとれば素数の意)
コンピュータによる検索ではなく、あくまで理詰めの作業により追いつめて下さい。
らすかるさんからのコメントです。（令和４年１１月８日付け）
5x＋11y＝A とおくと、 31A＋55z＝1
31×2＝62≡7 (mod 55) 、7×8＝56≡1 (mod 55) なので、31×16≡1 (mod 55) と
わかり、(31×16−1)÷55＝9 なので、(A,z)＝(16,−9) が解の一つ
|z|＜100 の範囲で、(55,−31)を足し引きしていくと、
(126,−71)、(71,−40)、(16,−9)、(−39,22)、(−94,53)、(−149,84) となるので、
|z|が素数という条件を満たすものは、(A,z)＝(126,−71)、(−94,53) の２つ
・A＝126 のとき、 5x＋11y＝126
(x,y)＝(1,11) が解の一つなので、 |x|,|y|＜100 の範囲で、(11,−5) を足し引きすると、
(−98,56)、(−87,51)、(−76,46)、(−65,41)、(−54,36)、(−43,31)、(−32,26)、(−21,21)、
(−10,16)、(1,11)、(12,6)、(23,1)、(34,−4)、(45,−9)、(56,−14)、(67,−19)、(78,−24)、
(89,−29)
となるので、|x|,|y|が素数という条件を満たすものは、(x,y)＝(−43,31)、(67,−19)、(89,−29)
よって、解は、 (x,y,z)＝(−43,31,−71)、(67,−19,−71)、(89,−29,−71)
・A＝−94 のとき、 5x＋11y＝−94
(x,y)＝(1,−9) が解の一つなので、 |x|,|y|＜100 の範囲で、(11,−5) を足し引きすると、
(−98,36)、(−87,31)、(−76,26)、(−65,21)、(−54,16)、(−43,11)、(−32,6)、(−21,1)、
(−10,−4)、(1,−9)、(12,−14)、(23,−19)、(34,−24)、(45,−29)、(56,−34)、(67,−39)、
(78,−44)、(89,−49)
となるので、|x|,|y|が素数という条件を満たすものは、(x,y)＝(−43,11)、(23,−19)
よって、解は、 (x,y,z)＝(−43,11,53)、(23,−19,53)
従って、まとめると、条件を満たす解は、
(x,y,z)＝(−43,11,53)、(−43,31,−71)、(23,−19,53)、(67,−19,−71)、(89,−29,−71) の５組
以下、工事中！
