この解の個数は、
gcd(A,B,C)=G 、lcm(A,B,C)=L で、A=a*G、B=b*G、C=c*G ((a,b,c)は互いに素） とする
とき、 gcd([a,b,c])==1 かつ lcm([a,b,c])==L/G を満たす(a,b,c)の組合せが存在する数と
対応しています。
(2)なら、 144/12=12 、(3)なら、 720/12=60 ですので、
(2) gcd([a,b,c])==1 かつ lcm([a,b,c])=12
(3) gcd([a,b,c])==1 かつ lcm([a,b,c])==60
でその組合せが決まり、それぞれから、10通り 、68通り が生じてきます。
A、Bの２つでの場合しか経験してなかったので、３つの場合を調べていて、こんなにも多く
存在することに驚いてしまいました。
このことから、L/Gの値が解の個数の決め手になっていることが面白く感じたので、s=L/G
の値で、解の個数が如何ほどか調査してみたら、100までのもので、
s; 解の個数
1; 0 21; 4 41; 0 61; 0 81; 3
2; 0 22; 4 42; 32 62; 4 82; 4
3; 0 23; 0 43; 0 63; 10 83; 0
4; 1 24; 16 44; 10 64; 5 84; 68
5; 0 25; 1 45; 10 65; 4 85; 4
6; 4 26; 4 46; 4 66; 32 86; 4
7; 0 27; 2 47; 0 67; 0 87; 4
8; 2 28; 10 48; 22 68; 10 88; 16
9; 1 29; 0 49; 1 69; 4 89; 0
10; 4 30; 32 50; 10 70; 32 90; 68
11; 0 31; 0 51; 4 71; 0 91; 4
12; 10 32; 4 52; 10 72; 34 92; 10
13; 0 33; 4 53; 0 73; 0 93; 4
14; 4 34; 4 54; 16 74; 4 94; 4
15; 4 35; 4 55; 4 75; 10 95; 4
16; 3 36; 22 56; 16 76; 10 96; 28
17; 0 37; 0 57; 4 77; 4 97; 0
18; 10 38; 4 58; 4 78; 32 98; 10
19; 0 39; 4 59; 0 79; 0 99; 10
20; 10 40; 16 60; 68 80; 22 100; 22
100倍までは、s=60、84、90 で、最も多く 68通り
このことは、gcd(A.B,C)=G の値が何であれ、例えば、
gcd(A.B,C)=8 、lcm(A,B,C)=8*60=480
gcd(A.B,C)=10 、lcm(A,B,C)=10*60=600
gcd(A.B,C)=11 、lcm(A,B,C)=11*84=924
gcd(A.B,C)=16 、lcm(A,B,C)=16*90=1440
それぞれを満たす解の個数は、すべて68通り存在することができます。
この同じ68の値を発生させるsの特徴は、
60=2^2*3*5 、84=2^2*3*7 、90=2*3^2*5
で、一般に、素数 p、q、r で、 p^2*q*r 型 で示されます。
このことから、sの数字の特徴が、sの素因数構造で分類できることが起こせます。
sを1000まで延長させて分類すると、(以下 p、q、r、s は素数です。大小を問いません。)
s=p^(k+1) ->k(k=0,1,2,･･･)
s=p*q ->4
s=p^2*q ->10
s=p^3*q ->16
s=p^4*q(またはq^2*q^2) ->22
s=p^5*q ->28
s=p^6*q ->34
s=p^7*q ->40
s=p^4*q^2(またはp^8*q) ->46
s=p^5*q^2 ->58
s=p^4*q^3(またはp^6*q^2) ->70
s=p^5*q^3 ->88
s=p*q*r ->32
s=p^2*q*r ->68
s=p^3*q*r ->104
s=q^4*q*r(またはp^2*q^2*r) ->140
s=p^5*q*r ->176
s=p^3*q^2*r ->212
s=p^4*q^2*r ->284
s=p*q*r*s ->208
s=p^2*q*r*s ->424
s=p^3*q*r*s ->640
の様な対応がつけられました。
らすかるさんからのコメントです。（令和４年１１月２日付け）
法則を見つけただけで証明はしていませんが、上の計算は、
n=(素数の種類の数)、m=(各素因数の指数の積) とすると、 s=6^(n-1)×m - 2^(n-1)
と表されますね。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和４年１１月２日付け）
お〜〜！！こんな式で統一できるんだ。
途中で、p^4*q と p^2*q^2、p^6*q と p^3*q^2、p^4*q^3 と p^6*q^2 などが同じ数字が対応
してきていたので、不思議に感じていました。こんな背景があったのですね。
（コメント） （２）で、 Ａ＝１２ａ、Ｂ＝１２ｂ、Ｃ＝１２ｃ （ａ、ｂ、ｃ のうち任意の２つは互いに素）
とおいて、 １４４＝１２ａｂｃ すなわち、 ａｂｃ＝１２ から、
（ａ，ｂ，ｃ）＝（１，３，４） より、（Ａ，Ｂ，Ｃ）＝（１２，３６，４８）
は、誤った計算でした。正しくは、
Ａ＝１２ａ、Ｂ＝１２ｂ、Ｃ＝１２ｃ （ａ、ｂ、ｃ は互いに素） とおいて、
１４４＝１２×ｌｃｍ（ａ，ｂ，ｃ） としなければならない。
ｌｃｍ（ａ，ｂ，ｃ）＝１２ から、起こり得る場合を列挙すれば、
（ａ，ｂ，ｃ）＝（１，２，１２）、（１，３，４）、（１，３，１２）、（１，４，６）、（１，４，１２）、
（１，６，１２）、（２，３，４）、（２，３，１２）、（３，４，６）、（３，４，１２）
なので、
（Ａ，Ｂ，Ｃ）＝（１２，２４，１４４）、（１２，３６，４８）、（１２，３６，１４４）、（１２，４８，７２）、
（１２，４８，１４４）、（１２，７２，１４４）、（２４，３６，４８）、（２４，３６，１４４）、
（３６，４８，７２）、（３６，４８，１４４）
となる。（３）も同様です。
らすかるさんからのコメントです。（令和４年１１月３日付け）
全くの勘であって確認していませんが、
３数A、B、C で、 6^(n-1)×m - 2^(n-1) = 3!^(n-1)×m - 2!^(n-1) ならば、
４数A、B、C、D の場合は、 4!^(n-1)×m - 3!^(n-1) = 24^(n-1)×m - 6^(n-1) かも？
＃その理屈だと、２数の場合に、2!^(n-1)×m-1!^(n-1)=2^(n-1)×m-1 となりますが、
(84,3528)のときに合わないので違いますね。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和４年１１月４日付け）
４数A、B、C、Dの場合 p^n->1/2*(n-1)*(n-2) (n≧3)
p*q->1
p^2*q->13
p^3*q->39
p*q*r->64
p^2*q^2->70
p^4*q->79
p^5*q->133
p^3*q^2->177
p^6*q->201
p^7*q->283
p^2*q*r->304
p^4*q^2->332
p^8*q->379
p^3*q^3->425
p^5*q^2->541
p^3*q*r->740
p^4*q->783
p^6*q^2->798
p^2*q^2*r->1246
p^5*q^3->1251
p*q*r*s->1284
p^4*q*r->1372
p^5*q*r->2200
p^3*q^2*r->2888
p^6*q*r->3224
p^2*q^2*r^2->4780
p^2*q*r*s->5076
p^4*q^2*r->5230
p^3*q*r*s->11612
なる対応になると思いますが･･･。その他のパターンは、0が対応しています。
（重複部分は解消されます。）
らすかるさんからのコメントです。（令和４年１１月４日付け）
４数になると、ずいぶんと複雑になるのですね。「全くの勘」は完全にはずれでした。
素因数２種類、３種類の一般式は、
p^m*q^n → 6(mn)^2+m^2+n^2-9mn+2
p^l*q^m*r^n → 70(lmn)^2+14{(lm)^2+(mn)^2+(nl)^2}-54(lm+mn+nl-l-m-n)-48
あたりでしょうか。
（l、m、n＞1 の場合は、例が一つしかなかったので、l=m=n=2 以外では正しくないかも知れ
ません）
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和４年１１月４日付け）
＜追加データ＞
p^3*q^2*r->2888
p^3*q^2*r^2->10814
p^4*q^2*r->5230
p^4*q^2*r^2->19348
p^4*q^3*r->11804
p^4*q^3*r^2->43166
p^4*q^3*r^3->95868
p^5*q^2*r->8272
p^5*q^2*r^2->30382
p^5*q^3*r->18572
p^5*q^3*r^2->67592
p^5*q^3*r^3->149832
p^5*q^4*r->33100
p^5*q^4*r^2->119902
p^5*q^4*r^3->265292
p^5*q^4*r^4->469270
p^5*q^5*r->51856
p^5*q^5*r^2->187312
p^5*q^5*r^3->413972
p^5*q^5*r^4->731836
らすかるさんからのコメントです。（令和４年１１月４日付け）
時間がかかりましたが、ようやく素因数３種類の一般式が出せました。
p^l*q^m*r^n → (1/3){(6l^2+1)(6m^2+1)(6n^2+1)+11}-54lmn
という比較的綺麗な式になりました。これにならうと、素因数２種類の一般式は、
p^m*q^n → (1/6){(6m^2+1)(6n^2+1)+11}-9mn
となり似たような形になります。
両方とも「11」という定数が含まれているのが面白いですね。
この形から素因数４種類の一般式を数少ないデータを使って予想すると、
p^k*q^l*r^m*s^n → (2/3){(6k^2+1)(6l^2+1)(6m^2+1)(6n^2+1)+11}-324klmn
それにより完全な一般式は素因数ｎ種類で、指数が a[1]、a[2]、…、a[n] のとき
(1/24){(2^n)(Π{6(a[k])^2+1}+11)-(6^(n+1))Πa[k]}
となりそうで、これは素因数が１種類の場合も正解と一致しています。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和４年１１月４日付け）
自分も、一般式が構成出来ないものかと、らすかるさんが見つけられた様式を参考にあれ
これ挑戦していたんですが、係数が分数になったり、素数の指数と上手く連動しなかったりと、
ほとんど絶望状態でした。
ほんの一部で、i=1、2、3、･･･ で、
p^i*q^i->(2*i^2-1)*(3*i^2-2)
p^i*q*r->98*i^2-54*i+20
p^i*q->7*i^2-9*i+3
p^m*q^2->25*m^2-18*m+6 (m=2,3,4,･･･)
p^n*q^3->55*n^2-27*n+11 (n=3,4,5,･･･)
などの個別の式でした。
これを一気に記述できる一般式に到達出来ることが物凄いです。論理的に攻めて行ける
ものなのですか？それとも何となくこんな式なのかと直感的に予測していくのですか？
自分なりにあれこれ挑戦した感覚として、こんな式のあり様がどこから考えてこれるのか、
とても不思議です。
らすかるさんからのコメントです。（令和４年１１月４日付け）
式の形は無数にありますので、「何となくこんな式なのかと直感的に予測」はほとんど無理
ですね。
特別な場合の式を立て、それを統合する式を考えていってすべて論理的に攻めてます。
今回の場合は、「l,m,nに関して対称」ということがかなり使えました。
以下、工事中！
