・さてその先は？ ＧＡＩ 氏
正の整数で、 a^2＋b^2＝c^2 を満たす(a,b,c)は多数の組が存在する一方、
a^3＋b^3＝c^3
では全く存在しない。そこで、
a^3＋b^3＝c^2 ･･･ (*)
では、どの様な組が可能かを考えてみる。但し、1≦a≦b≦c であるとする。
簡単な調査で、
(a,b,c)＝(1,2,3) 、(2,2,4) 、(4,8,24) 、(8,8,32) 、(9,18,81) 、(7,21,98) 、(18,18,108) 、･･･
などが見つかるが、一般に、(*)を満たす一組を (a.,b,c)＝(A,B,C) とすれば、ｎを自然数と
して、(A*n^2,B*n^2,C*n^3) の組も自動的に(*)が満たされてくる。
何故なら、 (A*n^2)^3＋(B*n^2)^3＝(A^3＋B^3)*n^6＝C^2*n^6＝(C*n^3)^2
なので、例えば、上記の (1,2,3)、(4,8,24)、(9,18,81) は同じ系列として
(1,2,3)＝(1*1^2,2*1^2,3*1^3)
(4,8,24)＝(1*2^2,2*2^2,3*2^3)
(9,18,81)＝(1*3^2,2*3^2,3*3^3)
････････････
で記述される。同じく (2,2,4)、(8,8,32)、(18,18,108) も
(2,2,4)＝(2*1^2,2*1^2,4*1^3)
(8,8,32)＝(2*2^2,2*2^2,4*2^3)
(18,18,108)＝(2*3^2,2*3^2,4*3^3)
･･･････････
と同じ系列をなす。
そこで、(1,2,3) や (2,2,4) を規約な組と呼ぶことにする。
さて、以上を踏まえて、a が10000を越えるもので、最小な規約の組 (a,b,c) は何になるか
を考えて下さい。
「最小」としていたんですが、「最小」に少し自信が無くなったので、a>10000 であるものを
探して下さい。できれば３組ほど。
らすかるさんからのコメントです。（令和４年１０月２８日付け）
「最小」というのは、「aが最小」ですか？それとも「cが最小」ですか？
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和４年１０月２８日付け）
「aが最小」でおねがいします。
らすかるさんからのコメントです。（令和４年１０月２９日付け）
aの小さい順だと、
10010^3+17290^3=2484300^2
10054^3+13178^3=1817904^2
10065^3+23010^3=3633525^2
ですかね。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和４年１０月２９日付け）
「最小に自信がなくなった」とコメントしたのは、bの探索範囲を広げてみたら
10016^3+2153440^3=3160088064^2
なるものが出現したので、もっと広げてやれば 10010 が最小とは限らないんじゃないのか
な？と疑問をもったためでした。
bの探索範囲を広げて行けば時間が掛かってしまうし･････、で、３個と問い直しました。
と思っていたら
(10016,2153440,3160088064)=(626*4^2,134590*4^2,49376376*4^3)
なので既約ではありませんでした。
他のaでは、
10080^3+15120^3=2116800^2( しかしこれは既約にならない。)
(10080,15120,2116800)=(70*12^2,105*12^2,1225*12^3)
10082^3+231886^3=111668232^2 (これも既約でない。）
(10082,231886,111668232)=(2*71^2,46*71^2,312*71^3)
10089^3+1169298^3=1264410081^2 (これも既約でない。）
(10089,1169298,1264410081)=(1121*3^2,129922*3^2,46830003*3^3)
ですので、aが10000を超えて既約候補の３個は上のものですね。
らすかるさんからのコメントです。（令和４年１０月２９日付け）
続きは、
10122^3+149961^3=58081023^2
10129^3+1244420^3=1388195367^2
10147^3+115997^3=39519864^2
10166^3+17342^3=2503228^2
10185^3+234934^3=113877127^2
10199^3+182693^3=78094534^2
10270^3+13430^3=1872300^2
となるようですね。
ちなみに、一部の解は手計算でも出せます。
例えば、２つの素数11と19を使って、
11^3+19^3=8190=2×3^2×5×7×13
平方要素を除くと、 2×5×7×13=910
11×910=10010 、19×910=17290 なので、
10010^3+17290^3
=(11^3+19^3)×910^3
=(2×3^2×5×7×13)×(2×5×7×13)^3
=(2^2×3×5^2×7^2×13^2)^2=2484300^2
17と29を使うと、
17^3+29^3=29302=2×7^2×13×23
平方要素を除くと、 2×13×23=598
17×598=10166 、29×598=17342 なので、
10166^3+17342^3
=(17^3+29^3)×598^3
=(2×7^2×13×23)×(2×13×23)^3
=(2^2×7×13^2×23^2)^2
=2503228^2
# 最初の２数は素数である必要はありません。例えば、15と346から、
10185^3+234934^3=113877127^2 が得られます。
また、この方法を使えば単純探索では厳しいようなかなり大きい値の解の例も算出できま
す。
例えば、271と314を使うと、
271^3+314^3=50861655=3^3×5×13×73×397
平方要素を除くと、 3×5×13×73×397=5651295
271×5651295=1531500945 、314×5651295=1774506630 なので、
1531500945^3+1774506630^3
=(271^3+314^3)×5651295^3
=(3^3×5×13×73×397)×(3×5×13×73×397)^3
=(3^3×5^2×13^2×73^2×397^2)^2
=95811405531075^2
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和４年１０月２９日付け）
a^3＋b^3＝c^2 の発展形に類する問題を探していたら、
A^4＋B^3＝C^2
を満たす整数(A,B,C)を問う問題に遭遇しました。
普通に正の整数に限定して探すと、
(A,B,C)＝(1,2,3)、(5,6,29)、(6,9,45)、(7,15,76)、(9,27,162)、･････
と、ぞろぞろと出てきます。ところで、一般に s、t を任意の実数とし、
A(s,t)=6*s*t*(4*s^4+3*t^4)
B(s,t)=16*s^8-168*s^4*t^4+9*t^8
C(s,t)=64*s^12+1584*s^8*t^4-1188*s^4*t^8-27*t^12
にしておけば、 A(s,t)^4＋B(s,t)^3＝C(s,t)^2 が恒等的に成立するという。
勿論 s、t を整数で指定すれば、上記の解をはじき出してくれる。ただし、(1,2,3)などは
s、t をどうとればいいのかは分からないが･･･
一体どの様な考え方でこんな式を探し出せるのだろうか？こんな式が、A^3＋B^3＝C^2
へ適応できる式を導き出せないものかと思う。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和４年１０月２９日付け）
らすかるさん、面白い構成方法ですね。（よくこんな方法を思いつけますね。）
10129^3+1244420^3=1388195367^2 は、7 と860
10166^3+17342^3=2503228^2 は、17と29
10270^3+13430^3=1872300^2 は、13と17
から構成できますね。でも、これで出来たり、出来なかったりすることもまた面白いです。
＜追伸＞ 探索範囲を広げれば、いやいや、これで全部作れてしまいますね。
10054^3+13178^3=1817904^2 は、457 と599
10065^3+23010^3=3633525^2 は、671 と1534
10122^3+149961^3=58081023^2 は、482 と 7141
10147^3+115997^3=39519864^2 は、139 と1589
10199^3+182693^3=78094534^2 は、1457 と26099
らすかるさんからのコメントです。（令和４年１０月２９日付け）
この構成方法に気づきましたので、10100より大きい解は、この方法のプログラムを作って
調べました。
２数を s、t （s≦t） としたとき、t は、+1ずつですが、s は、例えば、a の範囲が10000〜10300
とするならば、s=4000やs=6000などを調べる必要がない（整数倍して10000〜10300の範囲に
ならない）ので、結構高速化できました。
（具体的には、sを+1ずつして、[10000/s]=[10299/s] になったら、s/[10000/s] まで飛ばして
よい）
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和４年１０月２９日付け）
s、t を変化させて、一気に構成してみました。
1;2 => 1^3 + 2^3 = 3^2
1;3 => 7^3 + 21^3 = 98^2
1;4 => 65^3 + 260^3 = 4225^2
1;5 => 14^3 + 70^3 = 588^2
1;6 => 217^3 + 1302^3 = 47089^2
1;7 => 86^3 + 602^3 = 14792^2
1;8 => 57^3 + 456^3 = 9747^2
1;9 => 730^3 + 6570^3 = 532900^2
1;10 => 1001^3 + 10010^3 = 1002001^2
1;11 => 37^3 + 407^3 = 8214^2
1;12 => 1729^3 + 20748^3 = 2989441^2
1;13 => 2198^3 + 28574^3 = 4831204^2
1;14 => 305^3 + 4270^3 = 279075^2
1;15 => 211^3 + 3165^3 = 178084^2
1;16 => 4097^3 + 65552^3 = 16785409^2
1;17 => 546^3 + 9282^3 = 894348^2
1;18 => 5833^3 + 104994^3 = 34023889^2
1;19 => 35^3 + 665^3 = 17150^2
1;20 => 889^3 + 17780^3 = 2370963^2
1;21 => 9262^3 + 194502^3 = 85784644^2
1;22 => 10649^3 + 234278^3 = 113401201^2
1;23 => 2^3 + 46^3 = 312^2
1;24 => 553^3 + 13272^3 = 1529045^2
1;25 => 15626^3 + 390650^3 = 244171876^2
1;26 => 217^3 + 5642^3 = 423801^2
1;27 => 4921^3 + 132867^3 = 48432482^2
1;28 => 21953^3 + 614684^3 = 481934209^2
1;29 => 2710^3 + 78590^3 = 22032300^2
1;30 => 27001^3 + 810030^3 = 729054001^2
2;3 => 70^3 + 105^3 = 1225^2
2;4 => 4^3 + 8^3 = 24^2
2;5 => 266^3 + 665^3 = 17689^2
2;6 => 28^3 + 84^3 = 784^2
2;7 => 78^3 + 273^3 = 4563^2
2;8 => 260^3 + 1040^3 = 33800^2
2;9 => 1474^3 + 6633^3 = 543169^2
2;10 => 14^3 + 70^3 = 588^2
2;11 => 2678^3 + 14729^3 = 1792921^2
2;12 => 868^3 + 5208^3 = 376712^2
2;13 => 10^3 + 65^3 = 525^2
2;14 => 86^3 + 602^3 = 14792^2
2;15 => 6766^3 + 50745^3 = 11444689^2
2;16 => 228^3 + 1824^3 = 77976^2 |
|
2;17 => 9842^3 + 83657^3 = 24216241^2
2;18 => 730^3 + 6570^3 = 532900^2
2;19 => 1526^3 + 14497^3 = 1746507^2
2;20 => 4004^3 + 40040^3 = 8016008^2
2;21 => 18538^3 + 194649^3 = 85914361^2
2;22 => 148^3 + 1628^3 = 65712^2
2;23 => 974^3 + 11201^3 = 1185845^2
2;24 => 6916^3 + 82992^3 = 23915528^2
2;25 => 386^3 + 4825^3 = 335241^2
2;26 => 2198^3 + 28574^3 = 4831204^2
2;27 => 39382^3 + 531657^3 = 387735481^2
2;28 => 1220^3 + 17080^3 = 2232600^2
2;29 => 48794^3 + 707513^3 = 595213609^2
2;30 => 844^3 + 12660^3 = 1424672^2
3;4 => 273^3 + 364^3 = 8281^2
3;5 => 114^3 + 190^3 = 2888^2
3;6 => 9^3 + 18^3 = 81^2
3;7 => 1110^3 + 2590^3 = 136900^2
3;8 => 33^3 + 88^3 = 847^2
3;9 => 63^3 + 189^3 = 2646^2
3;10 => 3081^3 + 10270^3 = 1054729^2
3;11 => 4074^3 + 14938^3 = 1844164^2
3;12 => 585^3 + 2340^3 = 114075^2
3;13 => 417^3 + 1807^3 = 77284^2
3;14 => 8313^3 + 38794^3 = 7678441^2
3;15 => 126^3 + 630^3 = 15876^2
3;16 => 12369^3 + 65968^3 = 16999129^2
3;17 => 3705^3 + 20995^3 = 3050450^2
3;18 => 1953^3 + 11718^3 = 1271403^2
3;19 => 20658^3 + 130834^3 = 47416996^2
3;20 => 24081^3 + 160540^3 = 64432729^2
3;21 => 774^3 + 5418^3 = 399384^2
3;22 => 1281^3 + 9394^3 = 911645^2
3;23 => 36582^3 + 280462^3 = 148693636^2
3;24 => 57^3 + 456^3 = 9747^2
3;25 => 11739^3 + 97825^3 = 30623138^2
3;26 => 52809^3 + 457678^3 = 309865609^2
3;27 => 6570^3 + 59130^3 = 14388300^2
3;28 => 65937^3 + 615412^3 = 483076441^2
3;29 => 4578^3 + 44254^3 = 9314704^2
3;30 => 9009^3 + 90090^3 = 27054027^2
･･･････････････ |
らすかるさんからのコメントです。（令和４年１０月３０日付け）
s と t が互いに素でない場合は「既約な組」になりませんので、互いに素でないものは除い
た方が良いかも知れません。
Ｈ．Ｎａｋａｏ さんからのコメントです。（令和４年１１月７日付け）
x^3+y^3=z^2 の２変数多項式解は既に知られている。
参考文献[1],p243-244によると、以下のように(s,t)でパラメータ表示された解を持つ。[Zagier]
* (A1) X = s^4 +6s^2 t^2 -3t^4
Y = -s^4 +6s^2 t^2 +3t^4
Z = 6st(s^4 +3t^4 )
* (A2) X = (1/4)(s^4 +6s^2 t^2 -3t^4 )
Y = (1/4)(-s^4 +6s^2 t^2 +3t^4 )
Z = (3/4)st(s^4 +3t^4 )
* (A3) X = s^4 +8st^3
Y = -4s^3 t+4t^4
Z = s^6 -20s^3 t^3 -8t^6
[1]Paulo Ribenboim, "My Numbers, My Friends /Popular Lectures on Number
Theory/",
Springer-Verlag, 2000, ISBN0-387-98911-0
以下、工事中！
