れている。
話を限定するために、今考える ｘ の範囲を、[0,1]区間の有理数及び２次無理数(a+b*sqrt(p))
(a,b;有理数、p;平方因子を含まぬ整数)とすれば、
x が有理数なら、連分数表示は有限で、
x が２次無理数なら、ある部分からサイクルが繰り返される。
こうして x の連分数表示を２の指数部へ用いることで、ここに定義された?(x)関数は、
区間[0,1]からそれ自身への全射対応の単調増加な連続関数を与える。
この関数を利用して計算してみると、
?(1/2)=1/2 、?(2/3)=3/4 、?(3/5)=5/8 、?(5/8)=11/16 、･････ 、?(10/19)=513/1024
等々
x が有理数なら計算結果は必ず分母は偶数(しかも2の冪に限る。)
そこで、計算結果に着目し、
1/2=?(1/2)
1/4=?(1/3) 、3/4=?(2/3)
1/8=?(1/4) 、3/8=?(2/5) 、5/8=?(3/5) 、7/8=?(3/4)
1/16=?(1/5) 、3/16=?(2/7) 、5/16=?(3/8) 、7/16=?(3/7) 、9/16=?(4/7) 、11/16=?(5/8)
13/16=?(5/7) 、15/16=?(4/5)
･･･････････
すると、分母が２の冪ではない他の偶数、および奇数のものは、２次無理数を使うことの
結果として発生する。
例えば、
2/3=?((sqrt(5)-1)/2) 、1/5=?((2-sqrt(2))/2) 、1/6=?((5-sqrt(5))/10) 、････････
そこで、 a[i]/7=?(x[i]) ここに、a[i]=i (i=1,2,3,･･･,6) の結果を与える[0,1]区間にある２次無
理数x[i] （i=1,2,3,･･･,6)の具体的明示式を求めてほしい。
できれば、1/10、3/10、7/10、9/10 を与える、やはり、２次無理数y[j] (j=1,2,3,4)も．．．。
らすかるさんからのコメントです。（令和４年１０月１７日付け）
x[1]=2-√3 、x[2]=(√3-1)/2 、x[3]=(3-√3)/3 、x[4]=√3/3 、x[5]=(3-√3)/2 、x[6]=√3-1
y[1]=(3-√2)/7 、y[2]=(4-√2)/7 、y[3]=(3+√2)/7 、y[4]=(4+√2)/7
でしょうか。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和４年１０月１７日付け）
またもや全問正解です。
２次無理数を有理数へ写像するアイデアをよく思いつくものですね。
というわけで、
[0,1]区間で、?(x)=x を満たす x は、0、1/2、1 以外にも存在していますが、その値は？
理屈的にはこの値は２次無理数のはずですよね。
らすかるさんからのコメントです。（令和４年１０月１７日付け）
0.42037233942322307564099300664622187394918986660061…
という値になりますが、これは２次無理数ではないですね。
（もし、x が２次無理数なら、?(x)は有理数なので、?(x)=x にはなりません）
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和４年１０月１７日付け）
そうか！例の不動点の小数第37位までを作る２次無理数で、
gp > (sqrt(3219756132232550086641835218537)-1054710584836911)/(2*879764482467118)
%67 = 0.42037233942322307564099300664622187395
が作れたので、てっきり可能だろうと思ってしまった。
?(x)関数は連続ではないんですね。Pi/4や3√2などの点では繋がらない。数って、どんだけ
あるんだってことですね。
ちなみに、
1-0.42037233942322307564099300664622187394918986660061…
=0.57962766057677692435900699335377812605･･･
も不動点となりますね。
らすかるさんからのコメントです。（令和４年１０月１７日付け）
?(x)関数は連続ではないんですね。
連続関数と書かれています。
Pi/4などの数でも、上と下から有理数で押さえれば、?(x)もいくらでも近い値になりますので、
その有理数の極限として表されるPi/4もその間の値として定義され、連続になりますね。
以下、工事中！
