では、次の等式を満たす ｘ の値は何だろうか？
(1) ２^x＋３^x＝４^x
(2) ４^x＋５^x＝６^x
(3) ４^x＋６^x＝９^x
ただし、(1)、(2)は、ｘ を小数点以下１６桁までを求め、(3)については、ｘ の明示式を示して
下さい。
（コメント） (1)(2) を、WolframAlpha 先生に解いてもらいました。
(1) ｘ＝1．5071265916386531340
(2) ｘ＝2．4879391731181746675
(3) は、 （３^x）^2−２^x・３^x−（２^x）^2＝０ と変形されるので、
（（３/２）^x）^2−（３/２）^x−１＝０
これより、 （３/２）^x＝（１＋
）/２ なので、 ｘ＝ｌｏｇ(3/2) （（１＋）/２）WolframAlpha 先生の計算によれば、
ｘ＝1．1868143902809817175449880401476446152989326438893320062353300420...
となるそうです。
らすかるさんからのコメントです。（令和４年７月５日付け）
(1) f(x)=2^x+3^x-4^x とします。
f(1．5)=2√2+3√3-8≒0．02458＞0、f(2)=4+9-16=-3＜0 なので、解は、1．5 と 2 の間、
しかも、1．5 にかなり近い方にあることがわかります。
g(a,b)={af(b)-bf(a)}/{f(b)-f(a)} とします。
f(a)≒0、f(b)≒0、a≠b となるように、a=1．5、b=1．6 とします。
（※f(a)とf(b)の符号が異なる必要はありません）
計算は、小数点以下20桁(以下四捨五入)とします。
g(1.5,1.6)=1.50641450252233033645→a
g(1.50641450252233033645,1.6)=1.50705566866716387863→b
g(1.50641450252233033645,1.50705566866716387863)=1.50712664860928688768→a
g(1.50712664860928688768,1.50705566866716387863)=1.50712659163409698130→b
g(1.50712664860928688768,1.50712659163409698130)=1.50712659163865313369→a
g(1.50712659163865313369,1.50712659163409698130)=1.50712659163865313399→b
16桁以上求まったので終了
∴ x≒1．507126591638653134
(2) f(x)=4^x+5^x-6^xとします。
f(2)=16+25-36=5、f(2．5)=32+25√5-36√6≒-0．28＜0 なので、解は、2 と 2．5 の間、
しかも、2．5 にかなり近いほうにあることがわかります。
g(a,b)={af(b)-bf(a)}/{f(b)-f(a)} とします。
f(a)≒0、f(b)≒0、a≠b となるように、a=2．4、b=2．5 とします。
計算は小数点以下20桁(以下四捨五入)とします。
g(2.4,2.5)=2.48609166514948013282→a
g(2.48609166514948013282,2.5)=2.48790297657867599533→b
g(2.48609166514948013282,2.48790297657867599533)=2.48793928282775205771→a
g(2.48793928282775205771,2.48790297657867599533)=2.48793917311166965240→b
g(2.48793928282775205771,2.48793917311166965240)=2.48793917311817466637→a
g(2.48793917311817466637,2.48793917311166965240)=2.48793917311817466754→b
16桁以上求まったので終了
∴ x≒2．48793917311817467
(3) 4^x+6^x=9^x より、(2^x)^2+(2^x)(3^x)=(3^x)^2 即ち、(2^x)^2+(2^x)(3^x)-(3^x)^2=0
{2^(x+1)+(√5+1)(3^x)}{2^(x+1)-(√5-1)(3^x)}=0
ここで、 2^(x+1)+(√5+1)(3^x)＞0 なので、 2^(x+1)-(√5-1)(3^x)=0
2^(x+1)=(√5-1)(3^x) より、 (3/2)^x=2/(√5-1)=(√5+1)/2
∴ x=log((√5+1)/2)/log(3/2)≒1．1868143902809817
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和４年７月６日付け）
g(a,b)={af(b)-bf(a)}/{f(b)-f(a)} の式がこんな所で役立つんですね。
参考書には必ず上記の式を書き直す（=a-f(a)/f'(a) :as b→a)問題が問われていた様に記
憶していました。
つまり、y=f(x) 上での点(a,f(a))での接線がｘ軸と交わる座標、ひいては、その操作を繰り
返すことにより、f(x)=0 の解 x を導き出すニュートン法の活用に利用できるのか！
思ってもない手法で解決されていたのでとても参考になります。
（コメント） g(a,b)=a-f(a)/｛(f(b)-f(a))/(b-a)｝なんですね！
らすかるさんからのコメントです。（令和４年７月６日付け）
この手法は何年か前に自分で考えたのですが、今日検索してみたら既にありました（当然
か…）。
「割線法」または「セカント法」というらしいです。
以下、工事中！
