3857143 を手計算で素因数分解して下さい。
このまま 2、3、5、… と、ひとつひとつ割り切れるか確認していくのはナシです。なるべくス
パッとお願いします。
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和４年６月１９日付け）
((300^3)+(1^3))/7 を素因数分解せよ、とのことですね。
スモークマンさんからのコメントです。（令和４年６月１９日付け）
Dengan kesaktian Indukmu さんのコメントをヒントに...、
3857143×7=27000001=(300^3)+(1^3) より、 3857143=((300^3)+(1^3))/7
ここで、(300^3)+(1^3)=(300+1)(300^2-300+1) なので、3857143は、301/7=43 を因数にもつ。
3857143/43=89701 において、
89701=90000-299=300^2-300+1=300^2+600+1-900=(300+1)^2-30^2=(301)^2-30^2=331*271
ここで、17^2=(20-3)^2=400-60+9=349、13^2=169 より、331、271はどちらも13で割り切れ
ないので素数
よって、 3857143=43*271*331 ^^
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和４年６月２０日付け）
出題者の方が、 27*y^6+1 = (3*y^2+1)*(3*y^2-3*y+1)*(3*y^2+3*y+1) を最初から狙っ
ていらっしゃるとしたら、因数分解の達人ですね。
y=10 あたりにすると、３乗の公式を適用するというカラクリがみえやすい、y=10 だと
mod 7 にて、(3*y^2+1) ≡ 0 と……。
DD++ さんからのコメントです。（令和４年６月２０日付け）
27000001 の素因数分解（素因数は4つ）という問題は、HMMT という場所で出題されてい
る問題です。自分の会心の問題みたいな口振りでの投稿ですが、3857143 = 27000001/7
と変形する一行以外はどうやらただの借りてきた問題のようです。
まあ、3“85714”3 という数字の並びをみて 1/7=0.142“85714”2857 を連想せよというのは
1 行としてはなかなか濃い 1 行ではありますが。
それよりも、89701 を手計算で素数ではないと判定する方法として何を想定しての出題
だったのか気になりますね。
HMMT の問題では「89701 が残っている状態では素因数分解が完了していない」「271
と 331 は素数である」の確認が手計算では手間がかかりすぎる手間を省くために素因数
が 4 つであると明示されていました。
しかし、こちらの問題では 89701 が素数かどうかは自力で判定する他なく、271 や 331
が素数かどうかの判定も小さい方の素数から順に割っていく方法が禁じられているので容
易ではありません。
そのあたりを「手計算で」「スパッと」いける方法があるならぜひ知りたいものです。
ちなみに、素因数の個数がそこそこ多くなるという情報が事前に与えられている場合、
x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2) という計算だと、その先で行き詰まることが見え見えなので、
x^3+y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y) の方を使って、
27000001 = 301^3 - 900*301 = 301*331*271
と変形して、89701 を最初から回避するのが HMMT での出題者の狙いじゃないかなと思い
ます。
（コメント） なるほど！確かに、
27000001 = 300^3 + 1^3 = 301^3 - 900*301 = 301*(301^2 -30^2) = 301*331*271
の方が式変形としては自然ですね。
以下、工事中！
