回数が同じになった時点で止めていくとする。同数にならないなら、1000回まで投げ続けて
行けるものとする。
さてこの時、
(1) 2回のトスの時点で止める。
(2) 4回のトスの時点で止める。
(3) 6回のトスの時点で止める。
(4) 8回のトスの時点で止める。
(5) 1000回のトスでも同数にならない。
それぞれに相当する人数はどれほどと予測出来るか？
らすかるさんからのコメントです。（令和４年２月４日付け）
ちょうど2n回目に表と裏が同じになる確率は、(2n-2)C(n-1)/(n*2^(2n-1))なので、期待人
数は、
1000*(2n-2)C(n-1)/(n*2^(2n-1)) (人)
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和４年２月４日付け）
コイントスで表が出る確率を p とし、(2*n)回めのトスの時点で止める人数の期待値は、
1000*((p*(1-p)+(1-p)*p)^(n-1))*(p^2+(1-p)^2)
ということでしょうか？
※どこか間違っているのかもしれません。
らすかるさんからのコメントです。（令和４年２月４日付け）
p=1/2 として、n=2 のとき、 ((p*(1-p)+(1-p)*p)^(n-1))*(p^2+(1-p)^2)=1/4 となりますが、
2n=4回目までのパターン
oooo ooox ooxo ooxx oxoo oxox oxxo oxxx xooo xoox xoxo
xoxx xxoo xxox xxxo xxxx
のうち、4回目で止めるのは、 ooxx と xxoo の2通りしかありませんので、正しい確率は、
1/8になると思います。
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和４年２月４日付け）
らすかるさん、有り難うございました。恥ずかしながら、ジュース後に２本連続で勝って勝負
がつく（試合停止）について考えようとしていました。全然ダメ。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和４年２月４日付け）
自分なりに考えていた過程は、
4 で終了は 4C2=6 通りで、(1;表、0;裏)
1100 1010 1001 0110 0101 0011
のうち、 1100 0011 が条件を満たすので、その確率が、2/2^4=1/8
6 で終了は 6C3=20 通りで、
110010 110001 001101 001110
が条件を満たし、その確率は、4/2^6=1/16
8 で終了は 8C4=70 通りで、
11110000 11101000 11100100 11011000 11010100 00101011 00100111
00011011 00010111 00001111
の10通りが適し（実際70の全パターンを構成して調べた。）、その確率は、10/2^8=5/128
次もやろうと試みたが、10C5=252 通りもあったので、調査する気が萎えました。
1000回も試みるも、同数に至らない確率は全く分からず、プログラムで疑似実験を5回ほ
ど行い、その平均から、25人ほどだろうと予想していたんですが、らすかるさんの公式を
使って、その人数の理論値が、25.225018････(人)が与えられることになり、納得できました。
しかし、例の公式がなぜ作れるのか未だに分からずにいます。
ランダムに配列を人工的に構成してみると、無意識の内に表と裏は半々になるように調整
していく癖が出る。表が 6〜9 回続いても、別にランダムだから過去の結果にとらわれず現
象が起こっていくのだから、そんな現象は充分あり得る。ギャンブルで陥る罠が、このランダ
ムさが起こす現象に、ついつい騙されてしまうのが原因なんだろうかと思ってしまう。
らすかるさんからのコメントです。（令和４年２月４日付け）
例の公式がなぜ作れるのか
考え方は、カタラン数の式を作る時に使う方法と同じです。
例えば、「8回で終了」として(0,0)が出発地点、表で右に+1、裏で上に+1とすると、「8回後に
表と裏が同数」は、「(4,4)に到達」ですが、(0,0)から(4,4)に到達する8C4通りには、もちろん
(1,1)、(2,2)、(3,3) を通過するパターンも含まれています。
つまり、(1,1)、(2,2)、(3,3) を通らずに、(0,0)から(4,4)に到達するパターンの数を求めれば
よいわけです。
このパターンには、
(0,0)→(0,1)→…→(3,4)→(4,4)のパターン(上側を通る)と
(0,0)→(1,0)→…→(4,3)→(4,4)のパターン(下側を通る)
の2通りがありますが、対称ですから片側を計算して、2倍すれば十分です。
(0,0)→(0,1)→…→(3,4)→(4,4) のパターンは、(0,1)から(3,4)に到達するのが6C3通りで、
このうち、(1,1)、(2,2)、(3,3) のいずれかを通過するものは、そのどれかを最初に通過した瞬
間に、y=x に関して反転すれば、終着点が(4,3)になりますので、6C3通りのうち (1,1)、(2,2)、
(3,3) のいずれかを通過するパターンは、(0,1)から(4,3)に到達する6C2通りです。
よって、「ちょうど8回で終了」となるパターンは、(6C3-6C2)×2=10 通りですから、確率は
10/2^8=5/128となります。
一般の2nでは、 2{(2n-2)C(n-1)-(2n-2)C(n-2)}÷2^(2n) … (※) となりますが、
(2n-2)C(n-1)-(2n-2)C(n-2)=(2n-2)!/{n!(n-1)!}=(2n-2)C(n-1)/n
と簡略化できますので、
2{(2n-2)C(n-1)-(2n-2)C(n-2)}÷2^(2n)
=2{(2n-2)C(n-1)/n}÷2^(2n)
=(2n-2)C(n-1)/(n*2^(2n-1))
という式になります。
# (※)の式では、n=1のとき不都合ですが、変形した最後の式は、n=1でも通用する式になっ
ています。
以下、工事中！
