Ｆを行列

　　　

から導かれた1次変換とする。

　この時、以下の基底(1)、(2)、(3)に関するＦの表現行列を求めよ。

(1)		(2)		(3)

　ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和３年１１月２７日付け）

　多分、B1、B2、B3 が求めるものだと思います。

gp > A=[8,7,4;1,3,5;6,1,9];
gp > P1=[1,0,1;1,0,0;0,1,1];
gp > P2=[2,4,1;1,3,1;0,7,5];
gp > P3=[8,4,4;1,3,5;6,1,9];

gp > B1=P1^(-1)*A*P1
%616 =
[ 4  5 6]

[-4 10 9]

[11 -1 6]

gp > B2=P2^(-1)*A*P2
%617 =
[ 44 38 -15]

[-26 -5  21]

[ 39 25 -19]

gp > B3=P3^(-1)*A*P3
%618 =
[267/32 161/32 183/32]

[ 85/64 255/64 425/64]

[367/64  13/64 491/64]


（コメント）　懐かしい計算ですね！（１）だけやってみました。

　ｖ₁＝^ｔ（１　１　０）　、ｖ₂＝^ｔ（０　０　１）　、ｖ₃＝^ｔ（１　０　１）　とおくと、ｖ₁、ｖ₂、ｖ₃ が基底

となることは明らか。（←　問題文に「基底」と書いてあるので調べる必要はないかもしれませんが、
　　　　　　　　　　　　　　　　大切なポイントなので一応確認しました！）

　実際に、１次独立で、ｄｅｔ（ｖ₁　ｖ₂　ｖ₃）＝１≠０　が成り立つ。

　また、標準基底として、ｅ₁＝^ｔ（１　０　０）　、ｅ₂＝^ｔ（０　１　０）　、ｅ₃＝^ｔ（０　０　１）　とおく。

このとき、行列Ａの定義より、　（Ｆ（ｅ₁）　Ｆ（ｅ₂）　Ｆ（ｅ₃））＝（ｅ₁　ｅ₂　ｅ₃）Ａ　が言える。

さらに、　ｖ₁＝ｅ₁＋ｅ₂　、ｖ₂＝ｅ₃　、ｖ₃＝ｅ₁＋ｅ₃　から、底の変換行列Ｐは、

　　　（ｖ₁　ｖ₂　ｖ₃）＝（ｅ₁　ｅ₂　ｅ₃）Ｐ

　　　　

で与えられる。したがって、

（Ｆ（ｖ₁）　Ｆ（ｖ₂）　Ｆ（ｖ₃））

＝（Ｆ（ｅ₁）＋Ｆ（ｅ₂）　Ｆ（ｅ₃）　Ｆ（ｅ₁）＋Ｆ（ｅ₃））

＝（Ｆ（ｅ₁）　Ｆ（ｅ₂）　Ｆ（ｅ₃））Ｐ＝（ｅ₁　ｅ₂　ｅ₃）ＡＰ＝（ｖ₁　ｖ₂　ｖ₃）Ｐ^－1ＡＰ

から、基底 ｖ₁、ｖ₂、ｖ₃ に関するＦの表現行列は、Ｐ^－1ＡＰ で与えられる。

　　

を用いて、実際に計算すると、

　　

＃ＧＡＩ さんの計算結果と一致して、安心しました。



　　以下、工事中！