S5=[ 2, 7, 57, 182, 2057, 14557, 45807, 280182, 280182, 6139557, ･･･]
(2^2+1)/5 ;(2^4-1)/5
(7^2+1)/5^2 ;(7^4-1)/5^2
(57^2+1)/5^3 ;(57^4-1)/5^3
(182^2+1)/5^4 ;(182^4-1)/5^4
･･･････････････ ･･･････････････
(6139557^2+1)/5^10 ;(6139557^4-1)/5^10
は全て整数となる関係式がどこまでも続く。
同じく、次の集まりも同じ構造を有する。
T5=[ 3, 18, 68, 443, 1068, 1068, 32318, 110443, 1672943, 3626068,･･･]
(3^2+1)/5 ;(3^4-1)/5
(18^2+1)/5^2 ;(18^4-1)/5^2
･･･････････････ ･･･････････････
素数 13 と密接に関連する集まりは、(上の5の部分を13としたものでの関係式で成立）
S13=[ 5, 70, 239, 239, 143044, 1999509, 6826318, 6826318, 822557039, 85658552023,･･･]
(5^2+1)/13 ;(5^4-1)/13
･･･････････････ ･･･････････････
または
T13=[ 8, 99, 1958, 28322, 228249, 2827300, 55922199, 808904403, 9781942334, 52199939826,･･･]
(8^2+1)/13 ;(8^4-1)/13
･･･････････････ ･･･････････････
同じく、素数 17 では、
S17=[ 4, 38, 2928, 27493, 1029745, 23747457, 313398285, 3596107669,
94280954402, 450044583893,･･･]
T17=[13, 251, 1985, 56028, 390112, 390112, 96940388, 3379649772,
24306922095, 1565949316556,･･･]
次に、素数 7 と密接なものは、
S7=[ 3, 31, 325, 1354, 1354, 34968, 740862, 2387948, 25447152, 146507973,･･･]
但し、関係式は、
(3^3+1)/7 ;(3^6-1)/7 及び(2^6-1)/7
(31^3+1)/7^2 ;(31^6-1)/7^2 及び(30^6-1)/7^2
(325^3+1)/7^3 ;(325^6-1)/7^3 及び(324^6-1)/7^3
(1354^3+1)/7^4 ;(1354^6-1)/7^4 及び(1353^6-1)/7^4
･･･････････････ ･･･････････････
(146507973^3+1)/7^10 ;(146507973^6-1)/7^10 及び(146507972^6-1)/7^10
が全て整数
素数 11 では、
S11=[10, 120, 1330, 14640, 161050, 1771560, 19487170, 214358880,
2357947690, 25937424600,･･･]
(10^3+1)/11 ;(10^6-1)/11 及び(10^4-1)/11
(120^3+1)/11^2 ;(120^6-1)/11^2 及び(120^4-1)/11^2
(1330^3+1)/11^3 ;(1330^6-1)/11^3 及び(1330^4-1)/11^3
(14640^3+1)/11^4 ;(14640^6-1)/11^4 及び(14640^4-1)/11^4
･････････････････ ････････････････
(25937424600^3+1)/11^10;(25937424600^6-1)/11^10 及び(25937424600^4-1)/11^10
が全て整数となる。
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和３年１１月２５日付け）
((x-1)^3+1)/x = x^2-3*x+3
((x-1)^4-1)/x = x^3-4*x^2+6*x-4
((x-1)^6-1)/x = x^5-6*x^4+15*x^3-20*x^2+15*x-6
x を正の整数とします。このとき、
((x-1)^3+1)/x
((x-1)^4-1)/x
((x-1)^6-1)/x
は全て整数となります。
x = 11^n を代入します。
((11^n-1)^3+1)/11^n
((11^n-1)^4-1)/11^n
((11^n-1)^6-1)/11^n
は全て、整数となります。
S11=[10, 120, 1330, 14640, 161050, 1771560, 19487170, 214358880,
2357947690, 25937424600,･･･]
を見ますと、
S11=[11^1-1, 11^2-1, 11^3-1, 11^4-1･･･]
となっています。
S11(n) について、
((S11(n))^3+1)/11^n
((S11(n))^4-1)/11^n
((S11(n))^6-1)/11^n
は、全て整数となります。
11 が素数であるという性質が、上記では特に効いてきていないと思います。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和３年１１月２５日付け）
11 が素数であるという性質が、上記では特に効いてきていないと思います。
ワオ！ 11^n-1の数列であるとは気づけなかった。
S11=[3,3,124,2786,46709,1013015,18728625,174625993,1675138160,1675138160,･･･]
なら、
(3^5-1)/11
(3^5-1)/11^2
(124^5-1)/11^3
(2786^5-1)/11^4
････････
(1675138160^5-1)/11^9
(1675138160^5-1)/11^10
と同じ数字が並んでしまうのがキズかな？
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和３年１１月２８日付け）
124、2786、46709、1013015、18728625、174625993、1675138160
これらはどういう仕掛けがあるのか気になりました。素朴にがちゃがちゃしてみました。
各数より、それぞれ３を引いて、
121、2783、46706、1013012、18728622、174625990、1675138157
11^2の因数をくくり出すと、
1*11^2、23*11^2、386*11^2、8372*11^2、154782*11^2、1443190*11^2、13844117*11^2
11^2で割ると、
1、23、386、8372、154782、1443190、13844117
階差を取ると、
22、363、7986、146410、1288408、12400927
11の冪をくくりだすと、
2 *11、3 *11^2、2*3 *11^3、2*5 *11^4、2^3 *11^5、7 *11^6
ここで、 2、3、6、10、8、7、・・・ って、どういう規則性があるのかわからないです。多分
mod 11 で考えるべきなのでしょうけれども。
以下、工事中！
