覆面算みたいなものです、「^3」を除けば。
ABCD^3 = AEFB^3 +EBA^3 +GHI^3
※ 好きな理由：AとBとの配置、 ABCDとGHIとのバランス、EとFとの配置、下一桁の値が4項
で互いに異なる…などです。
H．Nakao さんからのコメントです。（令和３年１１月１４日付け）
A～Iには0～9から１つづつ重複なく入ると仮定する。以下のPari/GPプログラムにより、
解は、 2415^3=2394^3+342^3+687^3
の１個だけである。
(偶然にも、今日複数の覆面算を解いたので、プログラムはその修正版を使用)
gp > f(a,b,c,d,e,f,g,h,i)=(a*10^3+b*10^2+c*10+d)^3-(a*10^3+e*10^2+f*10+b)^3
-(e*10^2+b*10+a)^3-(g*10^2+h*10+i)^3;
gp > forperm([0,1,2,3,4,5,6,7,8,9],p,if(f(p[1],p[2],p[3],p[4],p[5],p[6],p[7],p[8],p[9])==0,
print(Vec(p)[1..9]))) [2, 4, 1, 5, 3, 9, 6, 8, 7]
time = 4,953 ms.
gp > 2415^3-2394^3-342^3-687^3
%1093 = 0
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和３年１１月１５日付け）
一撃で解かれてしまいました。
メタな視点から、「この人がたくさんあるなかからワザワザこの形のものを出題したという
ニュアンスを醸し出している」ところを考慮して、「なんらかの恒等式を使っているのでは？そ
の恒等式から多量に x^3+y^3+z^3=u^3 となるようなものをつくっておいて、その中からピック
アップしてきて覆面算に仕立てあげたのではないか？ よし、恒等式を調べてみようか」と…
…もしかしたら、なるかもしれないと思っていました。
(a*(a^3 + 2))^3 = (a*(a^3 - 1))^3 + (a^3 - 1)^3 + (2*a^3 + 1)^3
で、 a=7 としてみたものです。
解がユニークに定まるかどうかについては、 mod 10 と mod 9 とでいくつか条件を書いて、
「やや」探索範囲を絞ることで、ある程度は確認いたしました。
たとえば、 D^3 == A^3 + B^3 + I^3 (mod 10) など。
蛇足ですし、スッキリした味わいもありませんでしたので。
（コメント） 恒等式を追認してみました。
(a*(a^3 + 2))^3
= (a*(a^3 - 1 + 3))^3
= (a*(a^3 - 1))^3 + 9a^3*(a^3 - 1))^2 + 27a^3*(a^3 - 1)) + 27a^3
= (a*(a^3 - 1))^3 + (a^3 - 1)^3 + 9a^3*(a^3 - 1))^2 + 27a^3*(a^3 - 1)) + 27a^3 - (a^3 - 1)^3
= (a*(a^3 - 1))^3 + (a^3 - 1)^3 + 8a^9 + 12a^6 + 6a^3 + 1
= (a*(a^3 - 1))^3 + (a^3 - 1)^3 + (2*a^3 + 1)^3
この恒等式を発見するのは難しい．．．。私も、H．Nakao さんのように総当たりで探索する
方向に行ってしまいますね。
H．Nakao さんからのコメントです。（令和３年１１月１６日付け）
覆面算の問題を10題作成してみました。□には、0～9を重複無く１個づつ入れます。
(1) □□□^3+□9□^3+□2□^3=□□□^3
(2) □0□^3+□74□^3+□□3□^3=□□35□^3
(3) □□□□^3+□63□^3+□53□^3=□164□^3
(4) □46□^3+□26□^3+□40□^3=□□□□^3
(5) □73□^3+□6□□^3+□1□□^3=□050□^3
(6) □63□^3+□91□^3+□□9□^3=□1□0□^3
(7) □□^3+□2□□^3+□79□^3=□0□□^3
(8) □0□□^3+□19□^3+□57□^3=□0□□^3
(9) □81□^3+□41□^3+□□□□^3=□24□^3
(10) □□^3+□□8□^3+5□2□^3=□0□□^3
それぞれの解が１個に限ることは確認したので、答え合わせはしません。PCを使って全
ての組み合わせを検査すると、どれも１分かからずに解けました。
以下、工事中！
