DD++ さんからのコメントです。（令和３年１１月４日付け）
12(n -1)(n +1)(2n -1)(4n -5)(6n -7)
= (n -1)(n +1)(6n -3)(16n -20)(6*n -7)
≡ (n-1)(n+1)(n+2)n(n-2) (mod 5)
≡ 0 (mod 5)
この計算より、今、掛け算した数のうちいずれかは 5 です。
n-1=5 つまり n=6 の場合、5, 7, 11, 19, 29, 41 は全て素数
n+1=5 つまり n=4 の場合、8*n-7=25 は合成数
2n-1=5 つまり n=3 の場合、n+1=4 は合成数
4n-5=5 つまり n=5/2 の場合、n-1=3/2 は非整数
6n-7=5 つまり n=2 の場合、n-1=1 は単数
よって、n=6 のみで全てです。
＃これだと 8n-7 の存在意義がない（n+1 と重複している）ので、何か別解があるのかな？
よおすけさんからのコメントです。（令和３年１１月５日付け）
n の条件が不明ですが、整数でいいのかな？...は置くとして、解答。
n が 1 以下の整数は言うまでもなく不適。
n=2 のときは、n-1 が 1 になるので不適
n=3 のときは、n+1 が 4 と合成数があるので不適
n=4 のときは、8n-7 が 25 と合成数があるので不適
n=5 のときは、n-1 が 4、n+1 が 6、2n-1 が 9、4n-5 が 15、8n-7 が 33 と合成数があるの
で不適
n=6 のときは、5、7、19、29、41 と合成数は無いので適する。
n=7 のときは、n-1 が 6、n+1 が 8、6n-7 が 35、8n-7 が 49 と合成数があるので不適
n=8 のときは、n+1 が 9、2n-1 が 15、4n-5 が 27、8n-7 が 55 と合成数があるので不適
以後、正の整数を同様に調べると、n=7 以上では、
n -1、n +1、2n -1、4n -5、6n -7、8n -7 のうち、少なくとも1数は 4 以上の 2 の倍数または
10 以上の 5 の倍数が含まれるので、n -1、n +1、2n -1、4n -5、6n -7、8n -7 がすべて素
数となるような正の整数 n は 6 のみである。
DD++ さんからのコメントです。（令和３年１１月５日付け）
以後、正の整数を同様に調べると、n=7 以上では、
n -1、n +1、2n -1、4n -5、6n -7、8n -7 のうち、少なくとも1数は 4 以上の 2 の倍数または
10 以上の 5 の倍数が含まれるので、
えーと、まあ、ツッコミは dengan さんに任せましょうか。
H．Nakao さんからのコメントです。（令和３年１１月５日付け）
n-1、n+1 が差 2 の素数の組であるので、n は正整数かつ偶数であり、
n -1、n +1、2n -1、4n -5、6n -7、8n -7 は全て奇素数である。
奇素数は、3 以上であるので、n-1≧3 すなわち、n≧4 である。
n≧4 より、 n-1＜n+1＜2n-1＜4n-5＜6n-7＜8n-7 である。
(mod 5)による簡単な計算(後述)により、n -1、n +1、2n -1、4n -5、6n -7、8n -7 の少なく
とも１個は、5の倍数になる。
ここで、5の倍数である奇素数は5だけ、かつ、5より小さい奇素数は、3 だけであるので、
n-1 または n+1 が 5 に一致する。
よって、n=4 または 6。
n=4 のとき、
[n -1、n +1、2n -1、4n -5、6n -7、8n -7]=[3、5、7、11、17、25]
より、(25は合成数なので)題意を満たさない。
n=6 のとき、
[n -1、n +1、2n -1、4n -5、6n -7、8n -7]=[5、7、11、19、29、41]
より、題意を満たす。
よって、n -1、n +1、2n -1、4n -5、6n -7、8n -7 がいずれも素数となる n は、6 だけである。
[Pari/GPによる計算]
gp > find(m)=for(n=0,m-1,print([(n-1)%m,(n+1)%m,(2*n-1)%m,(4*n-5)%m,(6*n-7)%m,(8*n-7)%m]))
%466 = (m)->for(n=0,m-1,print([(n-1)%m,(n+1)%m,(2*n-1)%m,(4*n-5)%m,(6*n-7)%m,(8*n-7)%m]))
gp > find(5)
[4, 1, 4, 0, 3, 3]
[0, 2, 1, 4, 4, 1]
[1, 3, 3, 3, 0, 4]
[2, 4, 0, 2, 1, 2]
[3, 0, 2, 1, 2, 0]
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和３年１１月５日付け）
DD++さん、よおすけさん、H．Nakaoさん、コメントを頂きましたこと、有り難うございました。
DD++さんの解法はエレガントですね。 ことによると暗算なのではとも思われるほどに simple
です。 舌と尾とを巻きました。
これだと 8n -7 の存在意義がない（n +1 と重複している）ので、何か別解があるのかな？
について、特に優れた別解があるわけでもございません。
ただ、問題において、8n -7 をなくして以下のようだったとしましょう。すなわち、
《n -1、n +1、2n -1、4n -5、6n -7 がいずれも素数となる n を全て求めてください。》
この問題ですと、 n=4 と n=6 とが解になるだけなのです。 1 個に絞りたかったという不自
然な作為がありました。
エレガントとは対極にあるエレファントな解もありますので、その一部を下記に。
(n -1)(n +1)(2n -1)(4n -5)(6n -7)(8n -7)
= 385n^6 -1455n^5 +1620n^4 +280n^3 -1760n^2 +1175n -245 -(n-1)n(n+1)^2((n-2)(n+2)+5)
右辺は 5 の倍数です。
よおすけさんの
n の条件が不明ですが、整数でいいのかな？
について、n -1 が素数となるものを探しますので、 n は正の整数…くらいの安易な考えで出
題いたしました。詳しく書かなくて申し訳ありません。
以後、正の整数を同様に調べると、n=7 以上では、
n -1、n +1、2n -1、4n -5、6n -7、8n -7 のうち、少なくとも1数は 4 以上の 2 の倍数または
10 以上の 5 の倍数が含まれるので、
以後、正の整数を同様に調べると、n=7 以上では、
n -1、n +1、2n -1、4n -5、6n -7、8n -7 のうち、少なくとも1数は 4 以上の 2 の倍数または
10 以上の 5 の倍数が含まれる
ので、k 、r をよしなに定義しておいて、n=5*k + r (0≦r≦4) を代入し、 r について場合わけ
しておいて任意の k について所望の性質を持つ、と示していただければもっと良いと思います。
H．Nakaoさんの解法、なるほど、5 という数字が天下りにならないための発見的工夫として、
Pari/GPによる計算を使うことができるのですね。勉強になりました。
皆様へ。以下はジョークです。
(n -1), (n +1) のペアは双子素数です。
(n -1), (2*n -1) のペアが共に素数であるならば、(n -1) は Sophie Germain prime で
(2*n -1) は Safe prime です。
(n -1), (4*n -5) のペアが共に素数であるならば、これを白素数と呼び
(n -1), (6*n -7) のペアが共に素数であるならば、これを発素数と呼び
(n -1), (8*n -7) のペアが共に素数であるならば、これを中素数と呼ぶこととします。
(n -1) が双子素数、白素数、発素数、中素数の小さいほうであって、かつ、ソフィー・ジェル
マン素数であるような n は有限個しかないことがわかりました。
これは大定理です【冗句】。
DD++ さんからのコメントです。（令和３年１１月５日付け）
ことによると暗算なのではとも思われるほどに simple です。
はい、暗算です。複雑な展開や因数分解もありませんので。
よおすけさんへ、Dengan kesaktian Indukmu さんがつっこまなかったので、
以後、正の整数を同様に調べると、n=7 以上では、
n -1、n +1、2n -1、4n -5、6n -7、8n -7 のうち、少なくとも1数は 4 以上の 2 の倍数または
10 以上の 5 の倍数が含まれるので、
これ、本当に「同様に調べる」を実行したのなら、それで保証されるのは「自分が探した範
囲ではそうなっていた」ことだけです。
すなわち、「どんな上手な探し方をしても 6 以外見つからない」のか「自分の探し方が下手
で 6 しか見つけられなかっただけ」なのかはわからないことになります。
多分、大学入試とかでもこの論述は 0 点に近い点数になるんじゃないかと。
よおすけさんからのコメントです。（令和３年１１月５日付け）
modを使わずにやりたかったので、条件が成り立つ整数 n が見つかるまで1数ずつ書いて、
見つかったら..の以後を深く考えなかったので、あのような解答になりました。
以下、工事中！
