特殊な造りの監獄があり、見分けのつかない３つの扉がついている。

　・扉Aは、「すぐに外へ出られる」

　・扉Bは、「１年の間、この監獄から出られない」

　・扉Cは、「３年の間、この監獄から出られない」

　中にいる囚人は、このうちの一つの扉を後述のルールに従って選択するものとする。

◆ルール

　看守が１枚の歪んだコインを持っています。コイントスをしたときに、表が出る確率が a で、

裏が出る確率が 1-a であるものとします。(※歪んだコインなので a ＞ 1/2 です。)

　看守がこのコインを囚人に貸します。更に、看守は、a の値を囚人に教えます。

　看守が囚人に要求します。すなわち、

「コインを有限回トスすることで、1/3の確率で扉Aを、1/3の確率で扉Bを、1/3の確率で扉Cを

選択しなさい。また、トスをする前に、正確な確率で各扉を選択できる方法があることを説明

しなさい。」

　囚人はこの方法を考えつき看守に説明しました。看守はその方法でよろしいと言いました。

　a の値としてふさわしいものを 一つ、あげてください。 また、その値でうまくいく方法も説明
してください。


　DD++ さんからのコメントです。（令和３年１０月８日付け）

　最初読んだとき、任意の a でうまくやる方法を答える問題かと思ったのですが、

　 a の値としてふさわしいものを 一つ、あげてください。

という書き方を見るに、「a = 1/2 ＋ 1/(2) のときには、こうやれば 6 回で終わる」を示
せば、それで解答になる感じですか？

　そして、a = 1/2 + √(2-3)/(2) のときには、4 回で終わりますね。

　３回以下の解はあるかな？


　Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和３年１０月９日付け）

　　a = 1/2 + √(2√3-3)/(2√3) のときには 4 回で終わりますね。

　私が想定していた解での a の値と同じです。

　３回以下の解は、私も知りたいです。 でも…奇数回でうまくやる作戦がなかなか見つかり
ません。


　DD++ さんからのコメントです。（令和３年１０月９日付け）

　a = 1/2 + √(2-3)/(2) は、私は 5 回用として見つけた後で 4 回に短縮できること
に気づきました。奇数回で可能な値は全て 1 回短縮できるのかも。


　Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和３年１０月９日付け）

　あっ、そうなのでしたか、勉強になります。

　実は最初は有理数の範囲で確率 a を求められないかと考えていました。トスの回数があ
る程度多くなれば可能なのかもと思いましたが… ややあって絶望しました。

　想定していた解についての報告を致します。

　いろいろ試したあげくに、トスの回数が４回の作戦に解があるのかどうかについて調べよ
うと思いました。

　0 を表、1 を裏として、４回のトスの出目のリストを以下のように書き下します。

　出目の右側に添えた A、B、C の字は、どの扉をあけるかについてです。

　上記で特徴的なのは、例えば、

0001 B
0010 B
0100 C
1000 C

のブロックでは、0001 も 0010 も 0100 も 1000 も、出現確率が互いに等しいという点です。
このブロックに 4 通りの出目がありますが、これを 2 通りづつに分けて、それぞれを B と
C とに配分しています。

　同様にして、

0011 B
0110 B
1100 C
1001 C

のブロックや

0111 B
1011 B
1101 C
1110 C

のブロックでも、配分することにより、これら 3 ブロックでは、 B と C とに配分される確率が
等しくなります。

　残るブロック

0000 A
0101 A
1010 A
1111 A

は、A に配分することとします。

　A が選択される確率が 1/3 になれば、B、C が選択される確率も自動的に 1/3 になります。

　コイントス一回で表が出る確率を x とします。4次方程式を立てることができます。

　　x^4+(1-x)^4+2*x^2*(1-x)^2 = 1/3

　この方程式にもしも、少なくとも 2 つの正の実解があり（註１）、そのペアの解の和が 1 と
なれば目的が達っせられます。

※註１　表と裏とを足して 1 だからです。

　２つのペアがあるか、１つのペアがあるか、ペアがないか…については方程式を解いてみ
ないとわかりません。

　適切なペアが見つからないとするならば、作戦…すなわち出目の一覧におけるABCの配
分が間違っていたのかもしれませんし、そもそも作戦をどうあがいても解がみつからないの
かもしれませんし…このあたりは不安を抱えながらの試行錯誤をしました。

　（閑話休題）

　方程式は次のようなものでした。（再掲）

　　x^4+(1-x)^4+2*x^2*(1-x)^2=1/3

　1/2 < x < 1　の範囲に実解がひとつあり、x = sqrt(2/sqrt(3)-1)/2+1/2　となります。

なお、念のために、1-x の値も先の方程式の解になることを検算しました。また、４次方程
式の残りの2解は 複素数でした。

　ちなみに、作戦は他にもあります。出目表は、

となりまして、　x^4+(1-x)^4=1/3　を解けばよいです。

　こちらにも　1/2 < x < 1　の範囲に実解がひとつあり、目標を達することができます。
（詳細は割愛します。）

　トスを3回では、恐らく 3次方程式を立てることになりますが、3つの実数解のうち、2つが区
間(0,1)に含まれ、それらの和が 1 となる、そのような出目の配分表を作ろうとしましましたが、
なかなか困難を感じています。


　DD++ さんからのコメントです。（令和３年１０月９日付け）

　結果的にやってることは一緒でも、人によって考え方は根本から違うものですね。

　私は、「囚人と看守で対等な条件の、引き分けの確率が 1/3 となるゲームをやればよい」
と考えました。

　そして、「1 回コインを投げて、自分だけ表を出したら勝ち。1 回戦で同じ面が出たら 2 回
戦を行い、それも同じ面なら引き分け」というゲームを設定することにしました。

　表が出る確率が a、裏が出る確率が b (=1-a) とすると、引き分ける確率は、(a^2+b^2)^2
となるので、これを 1/3 にするには、

　　a^2+b^2 = 1/

これを、a+b = 1 と合わせて対称式として処理すれば、件の値が出てきます。

　5 回案だったというのは、「最初に 1 回投げたのと同じ面を出したら勝ち」で考えていたた
め。

　引き分けの確率が、(a+b)*(a^2+b^2)^2 になるんですが、a+b=1 なんだから最初の 1 回い
らないじゃん、と。

　最初に出した a = 1/2 + 1/(2) で 6 回というのは、

　　「3 回投げて、n 回目だけ違う面だったら n 点、3 回全て同じ面だったら 0 点」

というゲームで、1/3 = (1/2)^2 + (1/6)^2 + (1/6)^2 + (1/6)^2　という分解を実現しようとして
得た値になります。


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和３年１０月１０日付け）

　Dengan kesaktian Indukmu さんのアイデアから生まれる

　　　x^4+(1-x)^4+2*x^2*(1-x)^2=1/3

から、式を展開し、左辺に移項して整理すると、　4*x^4-8*x^3+8*x^2-4*x+2/3(=0)･･･�@

　一方、DD++ さんのアイデアによる式：　a^2+b^2=1/sqrt(3)　、a+b=1　から生まれる a、b
を解に持つ２次方程式

　　　x^2-x+1/2*(1-1/sqrt(3))(=0)･･･�A

より、同じ数値が見つかるのだから、�@は�Aで割り切れる．．．筈。

　やってみると、確かに、

　4*x^4-8*x^3+8*x^2-4*x+2/3=(x^2-x+1/2*(1-1/sqrt(3)))*(4*x^2 - 4*x +(6+2*sqrt(3))/3)

で分解されます。


　らすかるさんからのコメントです。（令和３年１０月１０日付け）

　4*x^4-8*x^3+8*x^2-4*x+2/3=4(x^2-x+(1/2)(1-1/sqrt(3)))(x^2-x+(1/2)(1+1/sqrt(3)))

のように右辺を整理すると、少し綺麗ですね。


　Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和３年１０月１１日付け）

　５回トスをする方法を私なりに考えてみました。

　0を表、1を裏として、32通り=(2^5)通りの出目表を以下のようにします。

　上の出目表の特徴を下記にまとめます。

・第0のブロックから第6のブロックまであります。第0のブロックのみ、出目は2通りをカバーし
　ています。それ以外のブロックでは、出目は5通りをカバーしています。

・第1のブロックから第6のブロックまででは、ブロック内において、各出目の出現確率は互い
　に等しくなっています。また、Aに配分される出目は1通り、BやCに配分される出目は2通り
　づつとなっています。

・各ブロックは、趣味的にですが、回転対称としています。本質には関わりません…筈です。

　さて、歪んだコインの表が出る確率 a ( 1/2<a<1  )  を求めたいのですけれども、ここで先
に挙げた出目表の特徴を鑑みますと、第0ブロック全体の出現確率が 1/6 でありさえすれば、
自動的に A B C のそれぞれの出現確率が 1/3 となることが見て取れます。

　従って、a は、第0ブロックのみを意識すれば良いので、以下の方程式の解として求められ
ることが期待できます。すなわち、

　　x^5+(1-x)^5=1/6

これを解いて、 1/2<a<1 に該当するものは……　x=1/2+sqrt(2*sqrt(3)-3)/(2*sqrt(3))

となりました。


　ここまできて、私はガーンとなりました。

　　sqrt(2*sqrt(3)-3)/(2*sqrt(3))+1/2 = sqrt(2/sqrt(3)-1)/2+1/2

ですので、私が先日投稿した、トスが４回のときの a の値と一致しているのでした。

　何故なのか悩みましたけれども結論は、本日投稿した５回トスの出目表のうち、左から３番
目のトスが、無駄なトスとなっているからなのでした。

　DD++さんがおっしゃっていた、奇数回トスでは１回トスを省けるのではないかとの、実例の
ひとつになりました。


　そこで、本日の出目表をぐっと睨んで、次のようなゲームを考えてみました。

　囚人と看守とが、それぞれ２回づつトスをします。

　１回目に表が出れば１点、２回目に表が出れば２点、得点がもらえます。合計点を比べて多
い方が勝ちとします。合計点が等しければ引き分けとします。

　引き分けになる確率が1/3となるには、a=1/2+sqrt(2*sqrt(3)-3)/(2*sqrt(3))　となっていれ
ば良いのです。

　上のゲームは、本日投稿した出目表から導きました。

　出目表の一部を切り取りますと、

　左から順に、Bの2回目、Bの1回目、ダミー、Cの1回目、Cの2回目のトスの結果とみなしま
す。

　0が表、1回目なら1点、2回目なら2点、もらえます。合計が多い方が勝ち、との出目表に
なっています。


　ながながと書きましたが、結局、本質的に5回のトスが必要なような出目表がまだ見つから
ないという御報告でした。


　Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和３年１０月１３日付け）

　歪んだコインを５回投げることでサイコロをエミュレートできる……という解釈があることに
気がつきました。

　例によって出目表です。 0が表で1が裏です。トスは5回ですので、出目のパターンは32通り
です。各パターンごとに サイコロの目を割り付けます。

　コインの表の出る確率 a がなんであったとしても、サイコロの目として、 2 から 6 までの出
現確率が互いに等しくなっていることが、上記の出目表では自明となっています。

　あとは、サイコロの目の1に割り付けたパターンについて、その出現確率が 1/6 になるよう
に a の値を設定すれば、サイコロのエミュレートが出来ることとなります。

　それで、 a^5+(1-a)^5 = 1/6　を解きます。求める解として、（ 1/2＜a＜1 ）を満たすのは、

　　a=1/2+sqrt(2/sqrt(3)-1)/2

となります。

※1/2 や 1/3 や 1/6 などをはかりだすことができますね。

※次は全く冗長ですが…
（サイコロの目を mod 3 で解釈すれば A、B、Cの扉を等確率で開けることができることは明
　らかですが 他の手をでっちあげてみます。 ）

　　a=1/2+sqrt(2/sqrt(3)-1)/2　のもとで、

�@　まず、5回トスをして 1/3 の確率を実現します。 これで A の扉をあけるかどうか意思
　　決定します。

�A　Aの扉を開けなかった場合には、更に、同じaの値のもとで 5回トスをして 1/2 の確率
　　を実現します。これで B の扉をあけるか C の扉を開けるかを意思決定します。
（計10回もトスをするなどなんとも無駄ですが。有限回なのでオーケーとしたいです。）


　Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和３年１０月１５日付け）

　４次方程式や５次方程式が登場するようでは、解ける人を限定しているような気がします。

　そこで、２次方程式が解けさえすればよいというルートを考えてみました。

　２回トスでの１セットのゲームを構成し、２ゲームを行えば、結果として Ａ、Ｂ、Ｃ からの３択
を等しい確率で実現できる、そのような仕掛けを作りたいと思いました。

　１ゲームを、次のように作りたいと思います。出目表です。

00 2
11 2
01 0
10 1

　このとき、「2」の出目が出る確率を、1/sqrt(3)　とします。「0」の出目が出る確率と、「1」の
出目が出る確率とは等しくなるように計らいますので、その値を 1/2-1/(2*sqrt(3)) とします。

　２ゲームでの出目の一覧は以下のようになります。

00
01
02
10
11
12
20
21
22

　これを並び変え、それぞれの出目に更に「超出目」を割り付けます。

00 0
01 1
02 0
10 1
11 0
12 1
20 0
21 1
22 2

　上の超出目の意図は次の通りです。

◆１：一度目のゲームと二度目のゲームとで、ともに出目が２のときに超出目を 2 とする。
　　　（超出目が2となるケースはこれだけとするので、その確率は1/3）

◆２：一度目のゲームと二度目のゲームとであわせて、出目に 2 が１回だけ出現したときに
　　　は、その 2 の出目が出なかったほうの出目は 0 か 1 であり、これを超出目とする。

　さきほどの超出目表から抜き出すと

02 0
12 1
20 0
21 1

ですが、0 の出目と 1 の出目が起きる確率は互いに等しいので、 超出目が 0 になる確率
と 1 になる確率は等しい。

◆３：一度目のゲームと二度目のゲームとであわせて、出目に 2 が１回も出現しなかったと
　　　きには、超出目として、(１回目の出目)＋(２回目の出目) を mod 2 で計算した値とする。

　さきほどの超出目表から抜き出すと、

00 0
01 1
10 1
11 0

となります。

　0 の出目と 1 の出目が起きる確率は互いに等しいので、こちらでも、超出目が 0 になる確
率と 1 になる確率は等しい。

◆４： ◆１から◆３までより、超出目が 0 となるケースの確率、1 となるケースの確率、2 とな
　　　るケースの確率は互いに等しく、その値は 1/3 となる。

　以上で、ゲームの骨格が定まったので、歪んだコインが表になる確率 a を求めたい。

　１ゲームで、「2」の出目が出る確率を、1/sqrt(3) としたかったので、ゲームの出目表を、
もう一度見ると

00 2
11 2
01 0
10 1

すなわち、a は次の二次方程式の解のひとつである。

　　　a^2 +(1-a)^2 = 1/sqrt(3)

　これを解いて、1/2＜a＜1 の範囲となる解を求めると、

　a = 1/2 +sqrt(2*sqrt(3)-3)/(2*sqrt(3)) = 1/2 +sqrt(2/sqrt(3)-1)/2

を得ます。


　　以下、工事中！