Ａ：ピッツバーグ（米国ペンシルベニア州） 緯度：40．4398、経度：-79．9768
（北緯：40°26′23″、西経：79°58′36″）
Ｂ：ロンドン（英国） 緯度：51．5073、経度：-0．1277
（北緯：51°30′26″、西経：0°7′39″）
Ｃ：ブエノスアイレス（アルゼンチン） 緯度：-34．6036、経度：-58．3815
（南緯：34°36′13″、西経：58°22′54″）
を選ぶとき、球面三角形△ABCの面積をＳ(km2)とするとき、Ｓの数値を求めてみてください。
但し、地球は、半径Ｒ＝６３７８（ｋｍ）の球であるとして計算してください。
（コメント） 球面三角法について不慣れだったので、少し勉強してみた。
手元に、
辻 正次、平野智治 著 「新三角法」（共立全書）
がある。
それによれば、球面上の２点Ａ、Ｂ間の距離とは、２点Ａ、Ｂを通る大円上の円弧で、大き
くない方の部分（劣弧）の長さをいう。
また、点Ｃで交わる２つの大円の交角は、大円が定める２つの平面のなす角に等しい。
球の中心Ｏを頂点とする三面角Ｏ-ＡＢＣと球面との交わりは球面三角形ＡＢＣとなる。
球面三角形の３辺の長さを ａ、ｂ、ｃ とし、球面の半径を Ｒ とすると、ａ/Ｒ、ｂ/Ｒ、ｃ/Ｒ は、
三面角の３つの面角を与える。
半径Ｒの球面上にあり、内角の大きさがＡ、Ｂ、Ｃである三角形の面積は、
Ｓ＝(Ａ＋Ｂ＋Ｃ−π)Ｒ2
で与えられる。
（証明） 半径Ｒの球面の表面積 ４πＲ2は、大円により、２等分される。
球面三角形ＡＢＣを含む面角Ａに対応する部分の表面積をＳAとすると、
ＳA＝２πＲ2×（Ａ/π）＝２ＡＲ2
同様にして、
ＳＢ＝２πＲ2×（Ｂ/π）＝２ＢＲ2
ＳＣ＝２πＲ2×（Ｃ/π）＝２ＣＲ2
このとき、 ＳA＋ＳB＋ＳC−２Ｓ の２倍が球面の表面積となるので、
（ＳA＋ＳB＋ＳC−２Ｓ）×２＝４πＲ2
したがって、２ＡＲ2＋２ＢＲ2＋２ＣＲ2−２Ｓ＝２πＲ2 より、
Ｓ＝（Ａ＋Ｂ＋Ｃ−π）Ｒ2 （証終）
＃ 上記の公式において、Ｓ＞０から、Ａ＋Ｂ＋Ｃ＞π である。すなわち、球面上の三角形
の内角の和は、πより大きいことが分かる。
例 地点Ａ（北緯０°東経０°）、地点Ｂ（北緯０°東経９０°）、地点Ｃ（北緯９０°東経０°）
の３点からなる球面三角形の面積は、Ａ＝Ｂ＝Ｃ＝π/２ より、
Ｓ＝（Ａ＋Ｂ＋Ｃ−π）Ｒ2＝πＲ2/２
この面積は当然ながら、球面の表面積 ４πＲ2 の１/８倍である。
問題は、一般の位置にある場合の計算である。
以下、工事中！
