exp(sqrt(19)*π)≒96^3+744
exp(sqrt(43)*π)≒960^3+744
exp(sqrt(67)*π)≒5280^3+744
exp(sqrt(193)*π)≒640320^3+744
当然、左辺は超越数であり、これを右辺のような整数だけの四則計算で組み立てることは
論理的にありえない。しかし、この近似は信じてみたいほど接近している。
特に、最後の式は、
gp > exp(sqrt(163)*Pi)
%44 = 262537412640768743．99999999999925007259
gp > 640320^3+744
%45 = 262537412640768744
などとなっている。
この原理を、今度は左辺でのexpでのπに付いている係数がsqrtであるのを通常の整数
に変更して近似的に成立しそうな関係式を探してみた。その結果、次の３つをとりあえず見
つけました。
exp(4*π)=66^3-744
gp > exp(4*Pi)
%46 = 286751.31313665329974669162477367348369
gp > 66^3-744
%47 = 286752
とても荒っぽいが･･･
exp(8*π)=(2172+1539*sqrt(2))^3-744
gp > exp(8*Pi)
%133 = 82226315585.594995274966905951567547842
gp > (2172+1539*sqrt(2))^3-744
%135 = 82226315585.594997669382840305911330630
exp(10*π)=(17562+7938*sqrt(5))^3-744 (逆に右辺にsqrtが入ってしまう。）
gp > exp(10*Pi)
%48 = 44031505860632.029011400544566534495725
gp > (17562+7938*sqrt(5))^3-744
%49 = 44031505860632.029011405016001161866022
もし、この辺の事情に詳しい方がおられたら、面白いものを教えて下さい。
H．Nakao さんからのコメントです。（令和３年９月１３日付け）
この近似は信じてみたいほど接近している。
あまり上手な説明はできませんが、以下の事実に基づく。
類数1の虚２次体Q(sqrt(-19))、Q(sqrt(-43))、Q(sqrt(-67))、Q(sqrt(-163))に対する j-不変
量 j(τ) または modular j-不変量 j(q) は整数である。
ここで、 d=19、43、67、163 のどれか
τ=(1+sqrt(-d))/2
q=exp(2*π*i*τ)
j(q)=(1/q)+744+196884*q+21493760*q^2+864299970*q^3+...
となる。|q|は十分小さいので、qの整関数である部分
(196884*q+21493760*q^2+864299970*q^3+...)
は0に近い。よって、
(1/q)=exp(2*π*i*(1+sqrt(-d))/2)=-exp(π*sqrt(d))
は整数に近い。
このとき、j(τ)またはj(q)は計算可能であり、整数の３乗数になる。
証明の詳細につては、以下の文献を参照してください。
[1]Joseph H. Silverman, "Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves", GTM 151,
Springer-Verlag New York Inc., 1994, p140-151, ISBN0-387-94328-5.
（→ 参考）
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和３年９月１４日付け）
親切に教えていただきありがとうございます。リンクを辿って分かったことなんですが、Nakao
さんが開設されているサイトには、以前からたびたび訪問させてもらっており、色々な楕円曲線
での格子点や解説文を読ませてもらっており、とてもよく整理されたそのいくつかはコピーさせ
てもらって、私用のノートに添付して随分利用しておりました。
改めて貴殿の読書日記などの内容を読ませて頂いて、とても共感する部分が多く、入試で
問われる力とは全く関係しない数学に対する姿勢や楕円曲線の深く、幅広い守備範囲にとて
も共鳴します。
てっきり数学でのプロと思っていましたが、サラリーマンを退職したら、思う存分好きな分野
に時間を使いたいとのコメントに、趣味でここまでを成し遂げられていることに驚きました。
でも読書量を見ると、この深さを理解されていることに納得を得ます。
これから思いっきり楽しまれてください。
H．Nakao さんからのコメントです。（令和３年９月１５日付け）
探せば、和書の専門書のどこかに掲載されているのが見つかるかもしれません。
H．NakaoのWebサイトに証明の要点をまとめたもの(読み辛いかも?)もあります。
・modular j-関数のFourier展開
・modular j-不変量 j(τ)が整数であることの証明の要点
・j((1+sqrt{-7})/2),j((1+sqrt{-11})/2),j((1+sqrt{-19})/2)の値
・j((1+sqrt{-43})/2),j((1+sqrt{-67})/2),j((1+sqrt{-163})/2)の値
当然のことながら、素人(H．Nakao)の書いたWebページを眺めるよりも、定評のある専門
書を参照する方が遥かに良いです。
H．Nakao さんからのコメントです。（令和３年９月２１日付け）
GAIさん！ exp(sqrt(35)*π)≒(240+112*sqrt(5))^3+744 ・・・ 誤差0.0017
を見つけました。
gp > default(realprecision,300)
gp > exp(Pi*sqrt(35))-(240+112*sqrt(5))^3-744
%11 = -0.0016689781797040956343048971883072664728990762938095230391194131245
268691679552003196534016601093355967022841672287688472077907205449084
909332736238951295385412414416565052531187174244241376731570328336924
580433635439113251350440117734583530158930615834563753443591793102686
2809458558573013307211363242
（参考） H．Nakao's Elliptic Curves Topics
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和３年９月２１日付け）
exp(2*sqrt(10)*Pi)≒(390+162*sqrt(5))^3-744
gp > exp(2*sqrt(10)*Pi)
%207 = 425670670.61832705697453332667843635488465486325712
gp > (390+162*sqrt(5))^3-744
%208 = 425670670.61878958367435946964418590504306367997951
exp(2*sqrt(22)*Pi)≒(9300+6480*sqrt(2))^3-744
gp > exp(2*sqrt(22)*Pi)
%209 = 6294840129559.9232665243470929333303410191122982215
gp > (9300+6480*sqrt(2))^3-744
%210 = 6294840129559.9232665556241382515851200240439654554
exp(sqrt(91)*Pi)≒(10896+3024*sqrt(13))^3+744
gp > exp(sqrt(91)*Pi)
%204 = 10359073014875.238721392686488972953155655684910129
gp > (10896+3024*sqrt(13))^3+744
%205 = 10359073014875.238721411692436678429033453049213181
なども可能ですね。
H．Nakao さんからのコメントです。（令和３年９月２１日付け）
昨日(9/20)からいろいろな方法で試してみて、やっと見つかりました。目標(本命)としていた
のは、こちらです。
exp(Pi*sqrt(427))≒(1249638720+159999840*sqrt(61))^3+744 誤差1.26115*10^(-23)
gp > default(realprecision,300)
gp > exp(Pi*sqrt(427))-((1249638720+159999840*sqrt(61))^3+744)
%22 = -1.26115082505956088313871050612570762854306893419086139167224818254242
4561141894415669185622064375887137948772857428159584750168336567254051
1189374640499881772438572266076494268216624026961196027586073204466031
7095337259244448845064638783496170845864226595607954488858519 E-23
類数2の虚２次体Q(sqrt(-427))の整数環に対するmodular j-不変量j(q)が、２次の代数的
整数であることに関連している。
ただし、τ=(1+sqrt(-427))/2、q=exp(2*π*I*τ)、Q(sqrt(-427))の類体は、Q(sqrt(-7),sqrt(61))
であり、j(q)は実２次体Q(sqrt(61))の代数的整数である。
ちなみに、類数２の虚二次体Q(sqrt(D))は、
|D|=15、20、24、35、40、51、52、88、91、115、123、148、187、232、235、267、403、427
の１８個だけであることが分かっている。
もう１つ見つけました。
exp(Pi*sqrt(267))≒(150000+12720*sqrt(89))^3*(500+53*sqrt(89))^2+744 誤差1.00027*10^(-17)
gp > default(realprecision,300)
gp > exp(Pi*sqrt(267))-((150000+12720*sqrt(89))^3*(500+53*sqrt(89))^2+744)
%65 = -1.000269680493282809498732802962577979894198587208782425663498903434640
15436630383446074127147744265038753991683379896778768383232761456396643
16672100845894467054038387523264868952102213510803176771145167339844668
1517039467701839408655770892884086532648625389393772971496 E-17
gp > exp(Pi*sqrt(267))
%66 = 19683091854079461001445.992737040769839016584497098875625984441365137363
51276398202911992734023411204858850012790605471383945042420494330204396
14722764043901178785177878168061714145057770456215502451542296284995074
52688487531521349696212879320945380896730223437747613492822317640888155
3611086957270652
gp > ((150000+12720*sqrt(89))^3*(500+53*sqrt(89))^2+744)
%67 = 19683091854079461001445.992737040769839026587193903808454079428693166989
29256292401499201516449074703762284652944971775218405783691971772854783
68714447423797957553561110929518110788224491464674447122082680160227723
21640589745032152872984024488285225564881927384517797433687894730176564
0143735582660046
ちなみに、類数２の虚２次体Q(sqrt(-267))の類体は、Q(sqrt(-3),sqrt(89))、(500-53*sqrt(89))
は、実２次体Q(sqrt(89))の基本単数、j((1+sqrt(-267))/2)は、実２次体Q(sqrt(89))の代数的整
数(=単数*3乗数)である。
さらに、もう１つ見つけました。
exp(Pi*sqrt(187))≒(828240+200880*sqrt(17))^3+744 誤差 4.33156*10^(-14)
Pari/GPで、以下のように確認できる。
gp > default(realprecision,300)
gp > exp(Pi*sqrt(187))
%83 = 4545336381788161590.073579105168923947230474749590234586393821003257179
1863742546928672097464132594556956502389426917941078723554150955122771
0995222863304732532238093290270614074473782227246792782266721549423641
5281954478459378626461511829713847048693404460639871384880212284352451
48715361842932463757
gp > (828240+200880*sqrt(17))^3+744
%84 = 4545336381788161590.073579105168967262836507530093118439485391509572481
1564735272374887881352328297964214702846037854580881252856084547281764
6676686264209066588373156955660720588953843156103284046940651905533293
3993394212739951504672430200170817040906232591656879528366630334229111
84239923384869146294
gp > exp(Pi*sqrt(187))-((828240+200880*sqrt(17))^3+744)
%85 = -4.33156060327805028838530915705063153019700992725446215783888195703407
2582004566109366398025293019335921589935681463400904334056135063665390
1065144800609288564912646739303561096518711439734280572878210918370456
9699922128281310170081434864180498766603552456154193668253671548444764
9472256123 E-14
ちなみに、
類数２の虚２次体Q(sqrt(-187))の類体は、Q(sqrt(-11),sqrt(17))、j((1+sqrt(-187))/2)は、
実２次体Q(sqrt(17))の代数的整数(3乗数)である。
類数２の虚２次体の類体については、以下の文献[2]を参考にしました。
[2] 山村 健 著 「導手の小さい虚2次体の最大不分岐拡大」
（数理解析研究所講究録 971巻1996年 12-23）
H．Nakao さんからのコメントです。（令和３年９月２１日付け）
本日(9/21)、初めて、ヘーグナー数 - Wikipediaの記事を読んでみたので、素人のH.Nakao
が偉そうに言える立場ではないのですが、少し感想を述べます。
・類数1の虚２次体の場合は、良く記述されている。
素人(H.Nakao)の拙い解説よりは、分かりやすい。しかし、説明に必要な定理を証明するた
めに、どんな道具が必要かは、十分に説明されていないように見える。
・類数2の虚２次体の場合は不十分ではあるが、参考にはなる。しかし、今回見つけた
d=427、267、187の場合の結果は掲載されていない。
やはり、この内容を正しく理解するためには、数論の(おそらく複数の)専門書を精読する
必要があると思う。(あくまで、H.Nakao個人の感想です。)
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和３年９月２１日付け）
類数２のタイプでの残り部分を探してみました。
exp(sqrt(232)*Pi)≒(4229670+784890*sqrt(29))^3-744
gp > exp(sqrt(232)*Pi)
%307 = 604729957825300084759.99999217152685643027859468081
gp > (4229670+784890*sqrt(29))^3-744
%309 = 604729957825300084759.99999217152685675585201377853
exp(sqrt(235)*Pi)≒(4686000+2095632*sqrt(5))^3+744
gp > exp(sqrt(235)*Pi)
%337 = 823177419449425906231.18552258988943379736963216290
gp > (4686000+2095632*sqrt(5))^3+744
%334 = 823177419449425906231.18552258988943403654528901180
exp(sqrt(403)*Pi)≒(674307600+187019280*sqrt(13))^3+744
gp > exp(sqrt(403)*Pi)
%325 = 2452811389229331391979520788.375284573629485072620897990
gp > (674307600+187019280*sqrt(13))^3+744
%327 = 2452811389229331391979520788.375284573629485072620978259
H．Nakao さんからのコメントです。（令和３年９月２１日付け）
GAIさんが、これらの数式(近似式)をどのように見つけたのかに、興味があります。
H．Nakaoの方法は、以下の通りです。
(1) 類数２の虚２次体K=Q(sqrt(-d))で、その類体Fが、Gal(F/K)=Z/2Zを満たすものを選択
する。F=Q(sqrt(-d_1),sqrt(d_2))=K(sqrt(d_2))となっていることを利用する。
(2) 選択したdが(-d)≡1(mod 4)を満たすので、Kの整数環の基底τ=(1+sqrt(-d))/2に対し
て、modular j-不変量 r=j(τ)を[少数点以下300桁の精度で]計算する。
(3) r が実2次体Q(sqrt(d_2))の代数的整数であると仮定して、a*r^2+b*r+c=0 を満たす整数
a、b、cをLLL-algorithmで求める。
行列A=[1,0,0; 0,1,0; [r^2*10^150],[r*10^150],10^150]に、LLL-algorithmを適用すると、
a=±1,b,cが求まる。
(4) ２次方程式 a*x^2+b*x+c=0 を解いて、r に近い方の根を選択する。
(5) 十分な精度で、整数 u、v に対して、r=u+v*sqrt(d_2) となることを確認する。
(6) r は実数なので、r^(1/3)を十分な精度[例えば少数点以下300桁の精度]で計算し、
r^(1/3)=p+q*sqrt(d_2) となる整数 p、q をLLL-algorithmで求める。
整数 p、q が見つからない場合は、実２次体Q(sqrt(d_2))の基本単数 s について、
(r/s)^(1/3) または (r/(s^2)) を十分な精度計算して、それらが
p+q*sqrt(d_2) と一致する整数 p、q をLLL-algorithmで求める。これにより、
r は (p+q*sqrt(d_2))^3 または (p+q*sqrt(d_2))^3*s または (p+q*sqrt(d_2))^3*s^2 のどれ
かに一致する。
(7) q=exp(2*Pi*I*τ) を計算して、|q| が十分小さいことを確認する。
(8) j(q)=(1/q)+744+(196884*q+21493760*q^2+864299970*q^3+...) において、
j(q)=j(τ) と (1/q) を置き換えると、q の整関数部分
(196884*q+21493760*q^2+864299970*q^3+...)
は0に近いので、求める関係式(近似式)を得る。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和３年９月２２日付け）
Nakaoさんがこの様な複雑な手続きをとられていることに驚きました。背景にある数学的シ
ステムに精通しておれば、この様な経路を思いつけるのでしょうが、私の様に楕円曲線は
ただなんか奥深いな〜位しか思っていない者には、この道筋を理解できる段階ではありま
せん。
ただ、PARI/GPのソフトには楕円曲線や数論に対する色々なコマンドが沢山準備されてい
るので有難いです。勿論全部のコマンドの機能を把握している訳ではありませんが、そのコ
マンドにはどんな力が備わっているのかを少しずつ調べていた中で、
polclass(D,flag)
このflagが次の値を指定すれば、
Invariants are allowed under the additional conditions on D listed below.
* 0 : j
* 1 : f, D = 1 mod 8 and D = 1,2 mod 3;
* 2 : f^2, D = 1 mod 8 and D = 1,2 mod 3;
* 3 : f^3, D = 1 mod 8;
* 4 : f^4, D = 1 mod 8 and D = 1,2 mod 3;
* 5 : γ_2 = j^(1/3), D = 1,2 mod 3;
* 6 : w2,3, D = 1 mod 8 and D = 1,2 mod 3;
* 8 : f^8, D = 1 mod 8 and D = 1,2 mod 3;
* 9 : w3,3, D = 1 mod 2 and D = 1,2 mod 3;
* 10: w2,5, D != 60 mod 80 and D = 1,2 mod 3;
* 14: w2,7, D = 1 mod 8;
* 15: w3,5, D = 1,2 mod 3;
* 21: w3,7, D = 1 mod 2 and 21 does not divide D
* 23: w2,3^2, D = 1,2 mod 3;
* 24: w2,5^2, D = 1,2 mod 3;
* 26: w2,13, D != 156 mod 208;
* 27: w2,7^2, D != 28 mod 112;
* 28: w3,3^2, D = 1,2 mod 3;
* 35: w5,7, D = 1,2 mod 3;
* 39: w3,13, D = 1 mod 2 and D = 1,2 mod 3;
但し、
j(=ellj(τ))
f(=exp(-Pi*I/24)*eta((τ+1)/2,1)/eta(τ,1)):ここにeta(τ,1)はデデキントのη関数
(Weber's function と呼ばれている。j=(f^24-16)^3/f^24の関係にある)
wp,q=(η(x/p)*η(x/q))/(η(x)*η(x/(p*q)))
そこで、flag=5 の場合に着目して、虚２次体Q(sqrt(-D))での類数が２の集合で、
gp > C2=[15,20,24,35,40,51,52,88,91,115,123,148,187,232,235,267,403,427];
gp > M=select(n->n%3!= 0,C2)
%344 = [20, 35, 40, 52, 88, 91, 115, 148, 187, 232, 235, 403, 427]
gp > apply(n->polclass(-n,5),M)
%345 =
[x^2 - 100*x - 880,
x^2 + 480*x - 5120,
x^2 - 780*x + 20880,
x^2 - 1860*x - 82800,
x^2 - 18600*x + 2509200,
x^2 + 21792*x - 156672,
x^2 + 75360*x + 506880,
x^2 - 340440*x - 199148400,
x^2 + 1656480*x - 15667200,
x^2 - 8459340*x + 24591258000,
x^2 + 9372000*x + 228602880,
x^2 + 1348615200*x - 4774579200,
x^2 + 2499277440*x + 53721676800]
を知らせてくれる。
例えば、D=-403 の結果を利用すると、x^2 + 1348615200*x - 4774579200 の２次式が対
応しているので、x^2 + 1348615200*x - 4774579200=0 の２根を求めると、
x1=-674307600-187019280*sqrt(13) 、x2=-674307600+187019280*sqrt(13)
このうち絶対値で大きい方を選べば、x1で、これを上記ではγ_2と表記されている。
つまり、
(-674307600-187019280*sqrt(13))^3=j(τ)
=1/q + 744 + 196884*q + 21493760*q^2 + 864299970*q^3 +･･･
で、
q=exp(2*Pi*I*τ)
τ=(1+sqrt(403)*I)/2 なので、
q=exp(Pi*I*(1+sqrt(403)*I))=exp(Pi*I)*exp(-sqrt(403)*Pi)=-1/exp(sqrt(403)*Pi)
これを上式に代入すれば、
(-674307600-187019280*sqrt(13))^3=-exp(sqrt(403)*Pi) + 744 + (ほとんど0)
これらから、
-(674307600+187019280*sqrt(13))^3≒-exp(sqrt(403)*Pi) + 744
整理して、
exp(sqrt(403)*Pi)≒(674307600+187019280*sqrt(13))^3 + 744
を作りました。だから、exp(sqrt(267)*Pi)の近似式を作ろうと思っても、手も足も出ませんで
した。
なお、LLL-algorithm は好みの根を持つ方程式を作成するときに有効な行列で使うコマン
ドと思っていましたが、こんな場面でも活躍できるんですね。
(algdepのコマンドに利用されているのかな？）
H．Nakao さんからのコメントです。（令和３年９月２２日付け）
GAIさんは、Pari/GPのpolclass(D,5)関数を使って見つけたと理解しました。参考になりまし
た。ありがとうございます。
類数２の虚２次体Q(sqrt(-d))のイデアル類群の自明でない元に含まれる整イデアルaが
具体的に分かれば、実２次体Q(sqrt(d_2))上で、j(a)はj(τ)のconjugateになるので、もっと
エレガントにj(τ)を求めることができるはずです。
H．Nakaoは、Pari/GPのbnfinit()関数のclgp情報をうまく使えなかったので、止むを得ず、
LLL-algorithmを使いました。(使える道具は何でも使う主義なので:-)
H．Nakao さんからのコメントです。（令和３年９月２３日付け）
虚２次体Q(sqrt(-D))での類数が２の集合で、
gp > C2=[15,20,24,35,40,51,52,88,91,115,123,148,187,232,235,267,403,427];
gp > M=select(n->n%3!= 0,C2)
%344 = [20, 35, 40, 52, 88, 91, 115, 148, 187, 232, 235, 403, 427]
残りは、D=15,24,51,123の4個です。
D=24の場合の結果は、以下の通りです。
exp(π*sqrt(24))≒(60+24*sqrt(2))^3*(1+sqrt(2))^2-744 誤差0.040754
なぜなら、
j(sqrt(-24)/2)=j(sqrt(-6))=(60+24*sqrt(2))^3*(1+sqrt(2))^2は、以下で計算済み。
τ=sqrt(-24)/2=sqrt(-6)
q=exp(2*Pi*I*τ)=exp(-Pi*sqrt(24))≒2.06989460188*10^(-7)
1/q=exp(Pi*sqrt(24))
j(τ)=j(q)=(1/q)+744+(196884*q+21493760*q^2+864299970*q^3+...)
|q|は十分小さいので、(196884*q+21493760*q^2+864299970*q^3+...)は0に近い。
exp(Pi*sqrt(24))≒j(sqrt(-6))-744
となる。
Pari/GPで以下のように確認できる。
gp > default(realprecision,300)
gp > tau=sqrt(-24)/2
%27 = 2.449489742783178098197284074705891391965947480656670128432692567250960
377457315026539859433104640234818594601226614189124858865459837757341625
783951237278552828912747527676571247630105270911770223481310678986690853
632443352545604033808808939374585567846574724361304144270270216174201838
30008158980784*I
gp > q=exp(2*Pi*I*tau)
%28 = 2.069894601882420196621842879393260513705424205154050965634285978695049
527629574572025380584429019443414608592309608833906818613208070192125248
319167316639981733603110739927492982295618377072329485295919786809684189
498728606219649906894588747546801719256172238367678151108083814427011394
49247452296372 E-7
gp > exp(Pi*sqrt(24))
%29 = 4831163.862597505965693548311015296142188297571888682786621172466623018
699803765801537752854482692214703667194485288172205257915915913587527384
299121610559114507968158853382854960129423426582437707190324825314201774
078599394676183427532406210051656412506686108741973555882034186082972529
08232910444211
gp > (60+24*sqrt(2))^3*(1+sqrt(2))^2-744
%30 = 4831163.90335133974539736629804914598041117228464354987520391095620100
98941091307115758680234063466620338706791715722518679612753040559530166
07653443624824847281864181522056908310638046692400103311859490345127795
36389523478303397703071346756221851905677493874781135356283284729744649
646172034568489981
gp > exp(Pi*sqrt(24))-((60+24*sqrt(2))^3*(1+sqrt(2))^2-744)
%31 = -0.0407538337797038179870338498382228747127548670885827384895779911943
053649100381151689236544473302034846862840796627033593881423654892233
543220142657327738960226686740533505086232658176656046691655198135935
898166353883577936031810613521668626442682526390693800069508131113635
239326380165804576959635537
D=123の場合も見つけました。
exp(π*sqrt(123))≒(3840+480*sqrt(41))^3*(32+5*sqrt(41))^2+744 誤差1.453934*10^(-10)
これが成立する理由は、以下の通り。
虚２次体Q(sqrt(-123))の類体は、Q(sqrt(-3),sqrt(41))。
τ=(1+sqrt(-123))/2
j(τ)=-(677073420288000+105741103104000*sqrt(41))=-(3840+480*sqrt(41))^3*(32+5*sqrt(41))^2
q=exp(2*π*I*τ)=exp(π*(I-sqrt(123))=-exp(-π*sqrt(123))≒-7.38472350*10^(-16)
1/q=-exp(π*sqrt(123))
j(τ)=j(q)=(1/q)+744+(196884*q+21493760*q^2+864299970*q^3+...)
|q|は十分小さいので、(196884*q+21493760*q^2+864299970*q^3+...)は0に近い。
Pari/GPで、以下のように確認できる。
gp> default(realprecison,300)
gp> exp(Pi*sqrt(123))
%64 = 1354146840466852.229234381451419990054107366780962656945903395815541777
18971095047605490379825413374397177026452397810290331295866647963892539
93757839318938273146333934944301911474260683010164380743799261048447931
43379569699727711233217301012008951983561769299773257020592370771069312
17933920804069289
gp> (3840+480*sqrt(41))^3*(32+5*sqrt(41))^2+744
%65 = 1354146840466852.22923438159681338028061108857035687651173228199042664
52130308109741021413768037894789462374967441671964268615963333745489937
04339039014110742318478318951709554780881145150671428564998702977344783
23778829307331464605466628189870127805033683468577620715186727621277236
658389622005025744
gp> exp(Pi*sqrt(123))-((3840+480*sqrt(41))^3*(32+5*sqrt(41))^2+744)
%66 = -1.453933902265037217893942195658288861748848680233198604980472375785
49655734974467232220189093523548637666894910068304963255082216915003
84492545727936363345507684965499049061877687249999009440872337358693
48214489808866923260667750653860029501312749054417030544045570120095
645503587529120622 E-10
gp> q=exp(2*Pi*I*(1+sqrt(-123))/2)
%67 = -7.38472350351046520930227018742087584459727285041302038996246112398
5424008550987081342733902198517747944571456232910993425698699807744
2589965109825791766784357301656390133215436429466875772808000100854
3435865661015184670606446163888492851145662679372810770901343485364
816831345805389445749934353391381 E-16 + 6.74508338318438343534002173
5840281029962391686042339509728784271614166715876226003752693785659
0434686150980339308058683143654152006613944353235026692067546993166
2801901611498522958248962581988074283141176130425168718212691917834
8114940858999034595593029891834907359167846265662589971553052848187
58549 E-324*I
D=51の場合も見つけました。
exp(π*sqrt(51))≒(240+48*sqrt(17))^3*(4+sqrt(17))^2+744 誤差3.5531565*10^(-5)
これが成立する理由は、以下の通り。
虚２次体Q(sqrt(-51))の類体はQ(sqrt(-3),sqrt(17))。
τ=(1+sqrt(-51))/2
j(τ)=-(2770550784+671956992*sqrt(17))=-(240+48*sqrt(17))^3*(4+sqrt(17))^2
q=exp(2*π*I*τ)=exp(π*(I-sqrt(51))=-exp(-π*sqrt(51))≒-1.804696*10^(-10)
1/q=-exp(π*sqrt(51))
j(τ)=j(q)=(1/q)+744+(196884*q+21493760*q^2+864299970*q^3+...)
|q|は十分小さいので、(196884*q+21493760*q^2+864299970*q^3+...)は0に近い。
Pari/GPで、以下のように確認できる。
gp> default(realprecison,300)
gp > exp(Pi*sqrt(51))
%41 = 5541101181.888285793570186095967902550610689811739734315214503552024998
40165174734713423584379280985886957138589438941756512592104902253458455
23953830206512297683168861445524887366661830346726667077025413461751015
34476972294974151943504076970963471269497226510035054381782640237327351
08122208689842062
gp> (240+48*sqrt(17))^3*(4+sqrt(17))^2+744
%42 = 5541101181.888321325135060704019494027794220348706788063248239144687097
65294235442246154734650488578146178178664103918944367996392125195893432
28970287352692060236637016285109701479555817119130427630110046287398462
81017079752257355926562047414354758340061253810034050371301005567461712
59468588083007411
gp > exp(Pi*sqrt(51))-((240+48*sqrt(17))^3*(4+sqrt(17))^2+744)
%43 = -3.5531564874608051591477183530536967053748033735592662099251290607075
327311502712075922592210400746649771878554042872229424349770501645714
617976255346815483958481411289398677240376055308463282564744746540107
457283203983057970443391287070564027299998995989518365330134361513463
7939316534852581434052924 E-5
D=15の場合も見つけました(ただし、誤差が1に近い)。
exp(π*sqrt(15))≒(15+12*sqrt(5))^3*((1+sqrt(5))/2)^2+744 誤差-1.02272
これが成立する理由は、以下の通り。
虚２次体Q(sqrt(-15))の類体はQ(sqrt(-3),sqrt(5))。
τ=(1+sqrt(-15))/2
j(τ)=-(191025+85995*sqrt(5))/2=-(15+12*sqrt(5))^3*((1+sqrt(5))/2)^2
q=exp(2*π*I*τ)=exp(π*(I-sqrt(15))=-exp(-π*sqrt(15))≒-5.19748*10^(-6)
1/q=-exp(π*sqrt(15))
j(τ)=j(q)=(1/q)+744+(196884*q+21493760*q^2+864299970*q^3+...)
|q|はある程度小さいので、 (196884*q+21493760*q^2+864299970*q^3+...)≒-1.02272 は、
(多少無理があるが)0に近い。
この場合は、誤差が1を僅かに超えていることに注意する。
Pari/GPで、以下のように確認できる。
gp> default(realprecison,300)
gp> exp(Pi*sqrt(15))
%38 = 192400.8101417502351441065259171959169579707379686340789211630004204046
18222594498724848052556096972391266126406633432655450313061726550447413
62932975269550880596146100575694577390478486465427516674458145106963652
46116505480877390506547696089130024562449292339307924977241824456985014
21999092173044952
gp> (15+12*sqrt(5))^3*((1+sqrt(5))/2)^2+744
%39 = 192401.8328625472074713534448212730499333579879173965773293379043095388
73500111516162571283524266690868001427804042895756224129878981913058449
55451932563463284949929450181782443197036755726020723332158639866457790
89206846973153237358486113830998341183514892736086884995114432076023346
43336161425738873
gp> exp(Pi*sqrt(15))-((15+12*sqrt(5))^3*((1+sqrt(5))/2)^2+744)
%40 = -1.02272079697232724691890407713297538724994876249840817490388913425527
7517017437723230968169718476735301397409463100773816817255362611035925
1895729391240435378334960608786580655826926059320665770049475949413843
0903414922758468519384177418683166210656003967789600178726076190383322
133706925269392137518
これまでの結果をまとめてみました。
■類数1の虚２次体(9個)の整数環のmodular j-不変量に関連しているもの。
exp(sqrt(19)*π)≒96^3+744 [誤差(-0.22231985)が大きい]
exp(sqrt(43)*π)≒960^3+744 [誤差-0.00022253]
exp(sqrt(67)*π)≒5280^3+744 [誤差-1.33754578*10^(-6)]
exp(sqrt(163)*π)≒640320^3+744 [誤差-7.49927403*10^(-13)]
■類数2の虚２次体(18個)の整数環のmodular j-不変量に関連しているもの。
exp(sqrt(15)*π)≒(15+12*sqrt(5))^3*((1+sqrt(5))/2)^2+744 [誤差(-1.02272080)が大きい]
exp(sqrt(20)*π)≒(50+26*sqrt(5))^3-744 [誤差(-0.15580141)が大きい]
exp(sqrt(24)*π)≒(60+24*sqrt(2))^3*(1+sqrt(2))^2-744 [誤差-0.04075383]
exp(sqrt(35)*π)≒(240+112*sqrt(5))^3+744 [誤差-0.00166898]
exp(sqrt(40)*π)≒(390+162*sqrt(5))^3-744 [誤差-0.00046252]
exp(sqrt(51)*π)≒(240+48*sqrt(17))^3*(4+sqrt(17))^2+744 [誤差-3.55315649*10^(-5)]
exp(sqrt(52)*π)≒(930+270*sqrt(13))^3-744 [誤差-2.85464840*10^(-5)]
exp(sqrt(88)*π)≒(9300+6480*sqrt(2))^3-744 [誤差-3.12770453*10^(-8)]
exp(sqrt(91)*π)≒(10896+3024*sqrt(13))^3+744 [誤差-1.90059477*10^(-8)]
exp(sqrt(115)*π)≒(37680+16848*sqrt(5))^3+744 [誤差-4.60154906*10^(-10)]
exp(sqrt(123)*π)≒(3840+480*sqrt(41))^3*(32+5*sqrt(41))^2+744 [誤差-1.45393390*10^(-10)]
exp(sqrt(148)*π)≒(170220+28080*sqrt(37))^3-744 [誤差-4.96427349*10^(-12)]
exp(sqrt(187)*π)≒(828240+200880*sqrt(17))^3+744 [誤差-4.33156060*10^(-14)]
exp(sqrt(232)*π)≒(4229670+784890*sqrt(29))^3-744 [誤差-3.25573419*10^(-16)]
exp(sqrt(235)*π)≒(4686000+2095632*sqrt(5))^3+744 [誤差-2.39175657*10^(-16)]
exp(sqrt(267)*π)≒(150000+12720*sqrt(89))^3*(500+53*sqrt(89))^2+744 [誤差-1.00026968*10^(-17)]
exp(sqrt(403)*π)≒(674307600+187019280*sqrt(13))^3+744 [誤差-8.02687075*10^(-23)]
exp(sqrt(427)*π)≒(1249638720+159999840*sqrt(61))^3+744 [誤差-1.26115083*10^(-23)]
■根拠不明のもの(偶然の一致か？または何かの裏付けがあるのか？)
exp(4*π)≒66^3-744 [誤差(-0.6868633)が大きい]
exp(8*π)≒(2172+1539*sqrt(2))^3-744 [誤差-2.394416*10^(-6)]
exp(10*π)≒(17562+7938*sqrt(5))^3-744
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和３年９月２３日付け）
gp > polclass(-16,5)
%364 = x - 66
%364=0
から、x=66
j(sqrt(-16)/2)=j(2*I)=1/q+744+(qを含む多項式）=66^3
ここで、
q=exp(2Pi*I*(2*I))=exp(-4*Pi)=1/exp(4*Pi) なので、上式は、
exp(4*Pi)+744≒66^3
従って、 exp(4*Pi)≒66^3-744
gp > polclass(-64,5)
%365 =x^2 - 4344*x - 19458
%365=0
から、x1=2172+1539*sqrt(2) 、x2=2172-1539*sqrt(2)
絶対値が大きい方はx1より、
j(sqrt(-64)/2)=j(4*I)=1/q+744+(qを含む多項式）=x1^3
q=exp(2*Pi*I*(4*I))=exp(-8*Pi)=1/exp(8*Pi) より、上式は、
exp(8*Pi)+744≒(2172+1539*sqrt(2))^3
従って、 exp(8*Pi)≒(2172+1539*sqrt(2))^3-744
gp > polclass(-100,5)
%366 = x^2 - 35124*x - 6635376
%366=0
から、x1=17562+7938*sqrt(5) 、x2=17562-7938*sqrt(5)
|x1|>|x2| から、
j(sqrt(-100)/2)=j(5*I)=1/q+744+(qを含む多項式）=x1^3
q=exp(2*Pi*I*(5*I))=exp(-10*Pi)=1/exp(10*Pi) より、上式は、
exp(10*Pi)+744≒(17562+7938*sqrt(5))^3
従って、 exp(10*Pi)≒(17562+7938*sqrt(5))^3-744
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和３年９月２３日付け）
つい最近、ellj関数での答えがpolclass(-D,flag=0)での値と深く結びついていることを本で知
り、やっとこのコマンドでの意味が少し理解できたのです。（それまでは全く意味不明でした。）
それから色々な本に書かれていて、不思議だなと思える等式や、関係式をノートにメモする
癖があり、ランダムにあちらこちらに書きつけているスクラップが溜まっております。
その中に、e^(sqrt(163)*Pi)その他のグループがあり、ノートのあちこちから?き集めてみ
ると、
ellj(I)=1728=12^3
ellj(sqrt(2)*I)=20^3
ellj(2*I)=66^3
ellj(sqrt(7)*I)=255^3
など、いつ書いたか忘れてしまっている色々な部分から3乗と深く関わっているタイプが揃っ
てきました。
あるいは、 exp(4*Pi)≒66^3-744 もいつ書いたか知らないが、これも昔書いていた。
これらになんの関係が存在しているんだろうか？ と何気なく思っているとき、あのpolclass
と何か関係していないのかな？と疑問が湧いた。
ploclassをメモしていたノートを引っ張り出し見てみると、突然3乗がついて関係式が作られ
ているものは、flag=5 であるものに関係しているではないか！とつい5日前くらいに気付いた
んです。それまでは書いていたノートでの色々な次数の多項式は何の意味かも全く分からな
い単なる意味のない整式が並んでいるだけのものでした。
逆に、flag＝５ の解説をよく読んでみると、それらしき事が説明されているではないか！
ここが不思議なことで、説明文は書いてあるが何の知識や経験がないときその文章を読ん
でも、まったく理解できないんですね。逆にある疑問や、推測をもって解説を読むと何だ書い
てあるじゃないか！と受け止められるんですね。
ですからこの関連性がとれれば、これを使うことで当初の関係式やそれに類したものを取
り出すことは容易くなることが理解できました。
しかし、私にとっては、それはほんの偶然が起こした出来事であり、どうしてploclassから発
生してくる式が、なんでそんな形になるかは全くもって闇の中なのです。
ですから、ある近似式をたまたま作れたといっても全く持って理解したとは程遠いものです。
あるマニュアル通りに作業すれば手に入れられることをしたまでです。
何か自分が詳しく知っていて、それを隠して質問しているように感じられていますが、それ
は誤解です。貴殿が書かれていた文章で、わからないことでもあきらめずに心の中にしまっ
ておけば、いつかその解決のヒントになるものが訪れる。時間内に解く技術を磨くことより、
いつまでも疑問を持ち続ける我慢強さが大切です。まさに私はこの言葉が大好きです。
H．Nakao さんからのコメントです。（令和３年１０月３日付け）
■exp(sqrt(d)*π)について、新しい近似式を見つけましたので、報告します。
exp(sqrt(155)*π)≒γ^3+744 誤差 -2.0317104*10^(-12)
ここで、 α=(1+sqrt(5))/2 、β=sqrt(-3+5*α)=sqrt((-1+5*sqrt(5))/2) 、
γ=45536*β*α+28112*β+102704*α+63488
である。
αはmonic 2次方程式 x^2-x-1 = 0 の根の１つであるので、2次の代数的整数である。
βはmonic 4次方程式 x^4+x^2-31 = 0 の根の１つであるので、4次の代数的整数である。
同様に、γはmonic 4次方程式
x^4 - 459360*x^3 + 17966080*x^2 - 2886860800*x + 33449574400 = 0
の根の１つであるので、4次の代数的整数である。
Pari/GPで、以下のように確認できる。
gp > default(realprecision,300)
gp > u=(1+sqrt(5))/2
%168 = 1.61803398874989484820458683436563811772030917980576286213544862270526
0462818902449707207204189391137484754088075386891752126633862223536931
7931800607667263544333890865959395829056383226613199282902678806752087
6689250171169620703222104321626954862629631361443814975870122034080588
795445474924618569536
gp > -3+5*u
%169 = 5.09016994374947424102293417182819058860154589902881431067724311352630
2314094512248536036020946955687423770440376934458760633169311117684658
9659003038336317721669454329796979145281916133065996414513394033760438
3446250855848103516110521608134774313148156807219074879350610170402943
977227374623092847682
gp > v=sqrt(-3+5*u)
%170 = 2.25614049734263540634134877420036164547724539113462771947452297062863
8801083609131792612219797909466792711577408442106551198217175385244682
0871067223324683332102678255237755745019079953444563644004632858255187
6656176432004110404881435717772343086756625863538663403468384334777502
709982129040481122854
gp > r=exp(sqrt(155)*Pi)
%171 = 96905542951371725.7026141400274191399231559719146854245407047792509258
3461014032677487093936753365607069117527393141852554789811888146927770
7596287097626182146922502933687401423685788473716484298830197597027466
0087822889146870930042342331662138524408528831381469183522952915361266
818064125042509742359
gp > rr=ellj((1+sqrt(-155))/2)
%172 = -96905542951370981.702614140029450850329017877555191095686575104623816
2482841106051798301250004160919615244330116093995820482009035209206344
8716081057970364458286828520106752527564062113732408041716823135935285
9940858320397986211382803389692493294512780492993701110013543470577889
0174739101592126339111
gp > r0=abs(rr)^(1/3)
%173 = 459320.899242500957831106229897975821181244736229363646362123823545652
8265152128359311233971164921431893489212762793646448627315015182922784
2362936038745871221937107764775356847430535727348702154780819186297706
3512606671891850691316134956166622605696419514781862192040423384413428
814059739798492426702
gp > AA(r,n)=[1,0,0,0,0;0,1,0,0,0;0,0,1,0,0;0,0,0,1,0;floor(r*10^n),
floor(v*u*10^n),floor(v*10^n),floor(u*10^n),10^n]
%174 = (r,n)->[1,0,0,0,0;0,1,0,0,0;0,0,1,0,0;0,0,0,1,0;floor(r*10^n),
floor(v*u*10^n),floor(v*10^n),floor(u*10^n),10^n]
gp > A=AA(r0,150)
%175 =
[1 0 0 0 0]
[0 1 0 0 0]
[0 0 1 0 0]
[0 0 0 1 0]
[4593208992425009578311062298979758211812447362293636463621238235456528265152
1283593112339711649214318934892127627936464486273150151829227842362936038745
8712 36505120080954759047354696706115327951783595351154234653789730861081224
0789260933818166887066202751393706143601718870377251039652358696729791615098
4896
2256140497342635406341348774200361645477245391134627719474522970628638801083
609131792612219797909466792711577408442106551198217175385244682087106722332
1618033988749894848204586834365638117720309179805762862135448622705260462818
902449707207204189391137484754088075386891752126633862223536931793180060766
1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000]
gp > B=qflll(A,1)
time = 1 ms.
%176 =
[1 -384700449661778077388041732848144861 331490307378102499295592747798453714
1931700149985600081530453600642821577 321725846899672005096619815237566392]
[-45536 862463019407615677917541709625123114 184928435504662911787712987244602285
-9937046641427528595385346159215704 -710209327107868602736678112446029807]
[-28112 -651693563771376697384173641622620587 -191495322547711414198948239876796523
-278592816325891039114446498661630387 -1719680503381685740931532493020831290]
[-102704 -115727276672727306428855410067620906 1094045211365048150793547806229310146
-133311753820548346923971712423605829 19246323515788907975796972470453573]
[-63488 176699465608941658266817859754003945459491
-152262439320542504151862417673061479155724
-887269369435467750493867614491895753153675
-147768963980215102568932954730315664503402]
gp > w=45536*u*v+28112*v+102704*u+63488
%177 = 459320.899242500957831106229897975821181244736229363646362123823545652
8265152128359311233971164921431893489212762793646448627315015182922784
2362936038745871221937107764775356847430535727348702154780819186297706
3512606671891850691316134956166622605696419514781862192040423384413428
814059739798492426702
gp > rr+w^3
%178 = 4.810004064021534667 E-291
gp > r-(w^3+744)
%179 = -2.0317104058619056405056711458703253728904136739702784049591856328824
3589083325773767798105650030278463945135677956452348207746243594578226
7380123851954832663607596118338033762325393932076031483299118378569156
5262794420719276098555541916612481790417623356674976549616596752821284
25134707915 E-12
H．Nakao さんからのコメントです。（令和３年１０月４日付け）
■exp(sqrt(155)*π)について、(1+sqrt(5))/2の代わりにsqrt(5)を使って書き換えたものを
報告します。
さらに、exp(sqrt(184)*π)、exp(sqrt(355)*π)についても、近似式が見つかったので、結果
のみを報告します。
exp(sqrt(155)*π}≒((22768*sqrt(5)+50880)*sqrt((-1+5*sqrt(5))/2)+51352*sqrt(5)+114840)^3+744
[誤差? -2.0317104*10^(-12) ]
exp(sqrt(184)*π}≒((159948*sqrt(2)+226206)*sqrt(-3+4*sqrt(2))+261144*sqrt(2)+369318)^3-744
[誤差 -6.1222226*10^(-14) ]
exp(sqrt(355)*π}≒((16995960*sqrt(5)+38004120)*sqrt(-3+4*sqrt(5))
+41437656*sqrt(5)+92657400)^3+744
[誤差 -3.8671427*10^(-21) ]
Pari/GPで、以下のように簡単に確認できる。
gp > default(realprecision,300)
gp > exp(sqrt(155)*Pi)-(((22768*sqrt(5)+50880)*sqrt((-1+5*sqrt(5))/2)
+51352*sqrt(5)+114840)^3+744)
%35 = -2.0317104058619056405056711458703253728904136739702784049591856328824
35890833257737677981056500302784639451356779564523482077462435945782267
38012385195483266360759611833803376232539393207603148329911837856915652
62794420719276098555541916612481790417623356674976549616596752821284251
34707915 E-12
gp > exp(sqrt(184)*Pi)-(((159948*sqrt(2)+226206)*sqrt(-3+4*sqrt(2))
+261144*sqrt(2)+369318)^3-744)
%36 = -6.1222226292313370788349100266711192797030493003243397608170303429454
93260519264715935817350404163487660818034926477957439174932172897797161
48168755241137980996170387243524492002705315326953017515169284688515399
42103300986407144878521645823433316696607975692063686762665355102244780
11911928 E-14
gp > exp(sqrt(355)*Pi)-(((16995960*sqrt(5)+38004120)*sqrt(-3+4*sqrt(5))
+41437656*sqrt(5)+92657400)^3+744)
time = 2 ms.
%37 = -3.86714265428100224507163102434379996067477109513999063048774326907193
736271379876222281455498590016716981443136371359834127224065233603626152
340955655001865236398172439279245406139610811935242795632885044474501030
425920488258062866542320129775862221891037566020499628894 E-21
■exp(sqrt(520)*π)、exp(sqrt(568)*π)についても、近似式が見つかったので、結果のみ
を報告します。
exp(sqrt(520)*π)≒((728353296*sqrt(5)+1628626230)*sqrt(13)
+2626080912*sqrt(5)+5872172070)^3-744
[誤差 -1.5192969*10^(-26) ]
exp(sqrt(568)*π)≒((4459297050*sqrt(2)+6306398370)*sqrt(-1+6*sqrt(2))
+12200391720*sqrt(2)+17253959430)^3-744
[誤差 -5.9892038*10^(-28) ]
Pari/GPで、以下のように簡単に確認できる。
gp > default(realprecision,300)
gp > exp(sqrt(520)*Pi)-(((728353296*sqrt(5)+1628626230)*sqrt(13)
+2626080912*sqrt(5)+5872172070)^3-744)
%88 = -1.51929685699552419838623659498007710410886255362625307396171777227568
899948253445057223544151709298124252982097551840760907594277124843747599
856663511987089935763813194458116636130104111027842811500942268046594276
359737954994735505792737940311322349985362162233001198648
E-26
gp > exp(sqrt(568)*Pi)-(((4459297050*sqrt(2)+6306398370)*sqrt(-1+6*sqrt(2))
+12200391720*sqrt(2)+17253959430)^3-744)
%89 = -5.98920380392343296339423845331595687836957354156069472930754912931895
65184715341771407939966430066162598336711721049947521789167900879873616
83028166870267355650053939696202047922475325740409658500624669179337886
284283839869431846210077023156639455230 E-28
H．Nakao さんからのコメントです。（令和３年１０月５日付け）
■exp(sqrt(340)*π)、exp(sqrt(595)*π)についても、近似式が見つかったので、結果のみ
を報告します。
exp(sqrt(340)*π)≒((6594939*sqrt(5)+14744835)*sqrt(17)+27191619*sqrt(5)+60794535)^3-744
[誤差? -1.368842632*10^(-20) ]
exp(sqrt(595)*π)≒((3363587208*sqrt(5)+7521209640)*sqrt(17)
+13868425368*sqrt(5)+31010741880)^3+744
[誤差 -1.031558789*10^(-28) ]
Pari/GPで、以下のように簡単に確認できる。
gp > default(realprecision,300)
gp > exp(sqrt(340)*Pi)-(((6594939*sqrt(5)+14744835)*sqrt(17)
+27191619*sqrt(5)+60794535)^3-744)
%150 = -1.3688426321264361023242447875646646640075917396974776813460369842630
6857440238923830414352352546643466139510546277184813543265559581558793
9029174725324376015024851815714429449195557192701375460599208521125605
38503332896207289462208418662626816814220820193660374874117583 E-20
gp > exp(sqrt(595)*Pi)-(((3363587208*sqrt(5)+7521209640)*sqrt(17)
+13868425368*sqrt(5)+31010741880)^3)^3+744)
%151 = -1.031558789471602290182557241979665613839246824584334812835504799394
383532128868375345036519674764923153429464609282602834879712626355734
487651591584027635163538874448299112872996675661558484864228930836723
7119651692867098576928476284640077048967374653 E-28
H．Nakao さんからのコメントです。（令和３年１０月７日付け）
■exp(sqrt(120)*π)、exp(sqrt(195)*π)についても、近似式が見つかったので、結果のみ
を報告します。
exp(sqrt(120)*π)≒((8562*sqrt(2)+12138)*sqrt(5)+19290*sqrt(2)+27210)^3
*((1+sqrt(5))/2)^2*(-1+sqrt(2))*((-sqrt(5)+2*sqrt(2)+1)/2)^2-744
[誤差 -2.2295453248*10^(-10) ]
exp(sqrt(195)*π)≒(((32832*sqrt(5)+73440)*sqrt(13)+118416*sqrt(5)+264720)^3
*((1+sqrt(5))/2)^2*((3+sqrt(13))/2)^2*(((-sqrt(5)+1)*sqrt(13)-sqrt(5)+9)/4)^2)+744
[誤差 -1.7447431786*10^(-14) ]
Pari/GPで、以下のように簡単に確認できる。
gp > default(realprecision,300)
gp > w=(8562*sqrt(2)+12138)*sqrt(5)+19290*sqrt(2)+27210
%864 = 108706.994055431114666973652008498242967094027227888534044332259460244
3260885548782996655899300254343190323747828290069459673015564894454240
7389657162117752888862523792071343581080030058013879815778603714816833
0916410155786568957272048118748332862522932422087125657039530995032643
861014886185614248860
gp > exp(sqrt(120)*Pi)-(w^3*((1+sqrt(5))/2)^2*(-1+sqrt(2))*((-sqrt(5)+2*sqrt(2)+1)/2)^2-744)
%865 = -2.2295453248250376176356917615345862633635137771482911354060989952960
9117509644165854360871503087187068198691553635871340254625304202646187
8655142951774600864065831778063524016604327436733576118077451528091439
8535343961120317463128690526490514813022526405783880347827357171310035
82108303970 E-10
gp > w=(32832*sqrt(5)+73440)*sqrt(13)+118416*sqrt(5)+264720
%931 = 1058997.95768582845256316496461684944276603598356069399349945244198616
6929005040387144472306850879956670636672763223958942457143709033564244
8781754322116392006512137800626493476836578736567896958922192515787666
6101617700053189506209093860024009420291172753681887942748609126058320
515283890615310574258
gp > exp(sqrt(195)*Pi)-((w^3*((1+sqrt(5))/2)^2*((3+sqrt(13))/2)^2*(((-sqrt(5)+1)*sqrt(13)
-sqrt(5)+9)/4)^2)+744)
%932 = -1.7447431786261633209780522170264151188333930679834200745828747285077
5533908256111915073447902086323101948638410344968707582183432568914489
2618013458481526800721027096108133011793238259410647660811038701532547
5328862738554383220962382183814587336987601769978612719050304605289069
28507941216 E-14
■exp(sqrt(312)*π)、exp(sqrt(372)*π)、exp(sqrt(408)*π)についても近似式が見つかっ
たので、結果のみを報告します。
exp(sqrt(312)*π)≒((11440710*sqrt(2)+16179570)*sqrt(13)+41248350*sqrt(2)+58333890)^3
*(-1+sqrt(2))*(-3+sqrt(13))/2*((sqrt(13)-2*sqrt(2)+1)/2)^2-744
[誤差 -1.565016953522*10^(-19) ]
exp(sqrt(372)*π)≒((1067040*sqrt(3)+1848210)*sqrt(31)+5839470*sqrt(3)+10114080)^3
*(2-sqrt(3))*((1+sqrt(3))*(39+7*sqrt(31))/2)^2-744
[誤差 -9.529547916706*10^(-22) ]
exp(sqrt(408)*π)≒((271365000*sqrt(2)+383768640)*sqrt(17)+1118864880*sqrt(2)
+1582321020)^3*(3*sqrt(2)-sqrt(17))^2-744
[誤差 -5.434492294648*10^(-23) ]
Pari/GPで、以下のように簡単に確認できる。
gp > default(realprecision,300)
gp > exp(sqrt(312)*Pi)-(((11440710*sqrt(2)+16179570)*sqrt(13)+41248350*sqrt(2)+58333890)^3
*(-1+sqrt(2))*(-3+sqrt(13))/2*((sqrt(13)-2*sqrt(2)+1)/2)^2-744)
%1018 = -1.565016953522189186565313674020457419405121140877297216024390582198
870127143889158952906689014735122856236922551412050040911825933506094
974760683879420804582541287752160279571841710634958914972486217459647
95574178784796143111519945542856364568844672509025574043436523291 E-19
gp > exp(sqrt(372)*Pi)-(((1067040*sqrt(3)+1848210)*sqrt(31)+5839470*sqrt(3)+10114080)^3
*(2-sqrt(3))*((1+sqrt(3))*(39+7*sqrt(31))/2)^2-744)
%1019 = -9.529547916706430815559248486467637476424275316644925934975938956097
705380195733759424491373108513839071276575328534438855837330814522565
997105190858970778402970630116760068781189089045149700827592160482275
7426536134473902789691284830473338255277407671741398085958753456 E-22
gp > exp(sqrt(408)*Pi)-(((271365000*sqrt(2)+383768640)*sqrt(17)+1118864880*sqrt(2)
+1582321020)^3*(3*sqrt(2)-sqrt(17))^2-744)
%1020 = -5.434492294648257336413842652371551957606259936328990656707108136816
970932796923544380909064584107744789926851646405058813926396999420600
014899720709521613502330481124749223548372473123153444785043108242403
5141311591519081486524247827747863277494764243612609950023880287 E-23
H．Nakao さんからのコメントです。（令和３年１０月８日付け）
■exp(sqrt(323)*π)、exp(sqrt(388)*π)、exp(sqrt(532)*π)についても、近似式が見つかっ
たので、結果のみを報告します。
exp(sqrt(323)*π)≒((5282420*sqrt(17)+21779940)*sqrt((-23+7*sqrt(17))/2)
+9043440*sqrt(17)+37286560)^3+744
[誤差 -5.93423426200*10^(-20) ]
exp(sqrt(388)*π)≒((2441734335*sqrt(97)+24048294255)*sqrt(-5604+569*sqrt(97))
+23062455*sqrt(97)+227138835)^3-744
[誤差 -2.62490161390*10^(-22) ]
exp(sqrt(532)*π)≒((669659130*sqrt(7)+1771731360)*sqrt(19)
+2918976480*sqrt(7)+7722797970)^3-744
[誤差 -6.67880890274*10^(-27) ]
Pari/GPで、以下のように簡単に確認できる。
gp > default(realprecision,300)
gp > exp(sqrt(323)*Pi)-(((5282420*sqrt(17)+21779940)*sqrt((-23+7*sqrt(17))/2)
+9043440*sqrt(17)+37286560)^3+744)
%1495 = -5.934234262004602831585953226390651950561688810378867342823467736203
325834783138334143126643206167565790764035049319551289725252817360958
244364880945757339221767730683108020221088302178943687868985346195760
6238332202998687782263856668878131922671031879639822367650044986 E-20
gp > exp(sqrt(388)*Pi)-(((2441734335*sqrt(97)+24048294255)*sqrt(-5604+569*sqrt(97))
+23062455*sqrt(97)+227138835)^3-744)
%1496 = -2.62490161390900791492450785675372300351997820104329054231707875268
76645472797587707341128557550751170749616678429002288651425903811492
19343773426640735502011878765739768182422511479266466619417829376182
51312526686854979344773885126475259319195555717592772338869319478138
E-22
gp > exp(sqrt(532)*Pi)-(((669659130*sqrt(7)+1771731360)*sqrt(19)
+2918976480*sqrt(7)+7722797970)^3-744)
%1497 = -6.67880890274626996756390458275614118998144863881121844081824218070
39051548987251414601742069456069529913291749068971630419496291044378
38248127480647962555022927663737542389185291578443646699569643747670
0198404696715536796233921591385669473218229071856773232449882097977
E-27
H．Nakao さんからのコメントです。（令和３年１０月９日付け）
■exp(sqrt(259)*π), exp(sqrt(291)*π)、exp(sqrt(292)*π)についても、近似式が見つかっ
たので、結果のみを報告します。
上記に加えて、類数4の虚２次体(54個)の整数環のmodular j-不変量に関連しているもの
で、これまでに見つかったものをまとめました。全部で、22個見つかりました。
exp(sqrt(120)*π)≒((8562*sqrt(2)+12138)*sqrt(5)+19290*sqrt(2)+27210)^3
*((1+sqrt(5))/2)^2*(-1+sqrt(2))*((-sqrt(5)+2*sqrt(2)+1)/2)^2-744
[誤差 -2.22954532482*10^(-10) ]
exp(sqrt(155)*π)≒((22768*sqrt(5)+50880)*sqrt((-1+5*sqrt(5))/2)
+51352*sqrt(5)+114840)^3+744
[誤差 -2.03171040586*10^(-12) ]
exp(sqrt(184)*π}≒((159948*sqrt(2)+226206)*sqrt(-3+4*sqrt(2))
+261144*sqrt(2)+369318)^3-744
[誤差 -6.12222262923*10^(-14) ]
exp(sqrt(195)*π)≒(((32832*sqrt(5)+73440)*sqrt(13)+118416*sqrt(5)+264720)^3
*((1+sqrt(5))/2)^2*((3+sqrt(13))/2)^2*(((-sqrt(5)+1)*sqrt(13)-sqrt(5)+9)/4)^2)+744
[誤差 -1.74474317862*10^(-14) ]
exp(sqrt(259)*π)≒((742896*sqrt(37)+4518864)*sqrt(-23+4*sqrt(37))
+857088*sqrt(37)+5213472)^3+744
[誤差 -2.17095607714*10^(-17) ]
exp(sqrt(280)*π)≒(3222072*sqrt(2)+4555278)*sqrt(5)+7202520*sqrt(2)+10189110)^3-744
[誤差 -2.90955985586*10^(-18) ]
exp(sqrt(291)*π)≒((2059713*sqrt(97)+20285823)*sqrt((125+13*sqrt(97))/2)+23167632*sqrt(97)
+228174720)^3*((-2*sqrt((125+13*sqrt(97))/2)+sqrt(97)+13)/4)
*(((33*sqrt(97)-325)*sqrt((125+13*sqrt(97))/2)+14*sqrt(97)-138)/8)+744
[誤差 -1.04638944813*10^(-18) ]
exp(sqrt(292)*π)≒((267255*sqrt(73)+2283435)*sqrt((41+5*sqrt(73))/2)
+1728675*sqrt(73)+14769795)^3-744
[誤差 -9.54414589859*10^(-19) ]
exp(sqrt(312)*π)≒((11440710*sqrt(2)+16179570)*sqrt(13)+41248350*sqrt(2)
+58333890)^3*(-1+sqrt(2))*(-3+sqrt(13))/2*((sqrt(13)-2*sqrt(2)+1)/2)^2-744
[誤差 -1.56501695352*10^(-19) ]
exp(sqrt(323)*π)≒((5282420*sqrt(17)+21779940)*sqrt((-23+7*sqrt(17))/2)
+9043440*sqrt(17)+37286560)^3+744
[誤差 -5.93423426200*10^(-20) ]
exp(sqrt(340)*π)≒((6594939*sqrt(5)+14744835)*sqrt(17)
+27191619*sqrt(5)+60794535)^3-744
[誤差 -1.36884263212*10^(-20) ]
exp(sqrt(355)*π)≒((16995960*sqrt(5)+38004120)*sqrt(-3+4*sqrt(5))
+41437656*sqrt(5)+92657400)^3+744
[誤差 -3.867142654281*10^(-21) ]
exp(sqrt(372)*π)≒((1067040*sqrt(3)+1848210)*sqrt(31)+5839470*sqrt(3)+10114080)^3
*(2-sqrt(3))*((1+sqrt(3))*(39+7*sqrt(31))/2)^2-744
[誤差 -9.52954791670*10^(-22) ]
exp(sqrt(388)*π)≒((2441734335*sqrt(97)+24048294255)*sqrt(-5604+569*sqrt(97))
+23062455*sqrt(97)+227138835)^3-744
[誤差 -2.62490161390*10^(-22) ]
exp(sqrt(408)*π)≒((271365000*sqrt(2)+383768640)*sqrt(17)+1118864880*sqrt(2)
+1582321020)^3*(3*sqrt(2)-sqrt(17))^2-744
[誤差 -5.43449229464*10^(-23) ]
exp(sqrt(435)*π)≒((21997680*sqrt(5)+49188240)*sqrt(29)+118461024*sqrt(5)+264887040)^3
*((1+sqrt(5))/2)*((-5+sqrt(29))/2)*(((sqrt(5)+1)*sqrt(29)+3*sqrt(5)+11)/4)^2+744
[誤差 -6.88470620500*10^(-24) ]
exp(sqrt(483)*π)≒(1319333040*sqrt(3*7)+476487120*sqrt(7*23)
+727846080*sqrt(3*23)+6045943680)^3*(5+sqrt(3*7))/2*(-29*sqrt(3*7)
+16*sqrt(7*23)+16*sqrt(3*23)-203)/2+744
[誤差 -2.03683208009*10^(-25) ]
exp(sqrt(520)*π)≒((728353296*sqrt(5)+1628626230)*sqrt(13)
+2626080912*sqrt(5)+5872172070)^3-744
[誤差 -1.51929685699*10^(-26) ]
exp(sqrt(532)*π)≒((669659130*sqrt(7)+1771731360)*sqrt(19)
+2918976480*sqrt(7)+7722797970)^3-744
[誤差 -6.67880890274*10^(-27) ]
exp(sqrt(555)*π)≒((3025142712*sqrt(5)+6764424840)*sqrt(37)+18401224728*sqrt(5)
+41146389960)^3*((1+sqrt(5))/2)^2*(-6+sqrt(37))*(((sqrt(5)-3)
*sqrt(37)+8*sqrt(5)-14)/2)^2+744
[誤差 -1.41786444617*10^(-27) ]
exp(sqrt(568)*π)≒((4459297050*sqrt(2)+6306398370)*sqrt(-1+6*sqrt(2))
+12200391720*sqrt(2)+17253959430)^3-744
[誤差 -5.98920380392*10^(-28) ]
exp(sqrt(595)*π)≒((3363587208*sqrt(5)+7521209640)*sqrt(17)
+13868425368*sqrt(5)+31010741880)^3+744
[誤差 -1.03155878947*10^(-28) ]
これらの近似式は、Pari/GPで簡単に確認できるが、ここでは省略する。
H．Nakao さんからのコメントです。（令和３年１０月１５日付け）
■exp(sqrt(39)*π)、exp(sqrt(55)*π)、exp(sqrt(56)*π)について、近似式が見つかったの
で、結果のみを報告します。
exp(sqrt(39)*π)≒(((135*sqrt(13)+489)*sqrt((sqrt(13)-1)/2)+147*sqrt(13)+573)/2)^3
*((-2*sqrt((sqrt(13)-1)/2)+sqrt(13)+1)/4)^2
*((2*sqrt((sqrt(13)-1)/2)+sqrt(13)-3)/4)+744
[誤差 -0.00059385809 ]
exp(sqrt(55)*π)≒(((648*sqrt(5)+1350)*sqrt((3*sqrt(5)-1)/2)+1053*sqrt(5)+2355)/4)^3+744
[誤差 -1.49873403312*10^(-5) ]
exp(sqrt(56)*π)≒((322*sqrt(2)+462)*sqrt(2*sqrt(2)-1)+456*sqrt(2)+646)^3-744
[誤差 -1.21381556345*10^(-5) ]
Pari/GPで、以下のように簡単に確認できる。
gp > default(realprecision,300)
gp > exp(sqrt(39)*Pi)-((((135*sqrt(13)+489)*sqrt((sqrt(13)-1)/2)+147*sqrt(13)+573)/2)^3
*((-2*sqrt((sqrt(13)-1)/2)+sqrt(13)+1)/4)^2*((2*sqrt((sqrt(13)-1)/2)+sqrt(13)-3)/4)+744)
%59 = -0.00059385809708633780076727956536021815966954917664491440988531700521
81628742161291667163414652256750030907111465318284756400041063038453832
78350119390795408367229919377729591926140800697752381417694762818615138
25438649235347204264075109391276432304268091174042874486039223624271343
9326176457210125299700
gp > exp(sqrt(55)*Pi)-((((648*sqrt(5)+1350)*sqrt((3*sqrt(5)-1)/2)+1053*sqrt(5)+2355)/4)^3+744)
%60 = -1.49873403312159455300161738493270141121503290912306375829241884793644
7322315447639345784558627136014143803943184653935792842189398785373017
0089918766021241303420531374686028464367878238790364266118838205800466
9949486795766966946821463795837006419149892910898475164211513809152329
207161513310208822851 E-5
gp > exp(sqrt(56)*Pi)-(((322*sqrt(2)+462)*sqrt(2*sqrt(2)-1)+456*sqrt(2)+646)^3-744)
%61 = -1.21381556345059913406232276672306398249760595592680206468987900719940
2393783239952552840443804370712454471277768063154732459079222956728049
6124589634440169387870232027862879071866618895645216844985139103957839
7590114510325243773284996344244081617753964202201862727026180156535338
750865024690253729293 E-5
H．Nakao さんからのコメントです。（令和３年１０月１６日付け）
■exp(sqrt(68)*π), exp(sqrt(84)*π)、exp(sqrt(132)*π)について、近似式が見つかったの
で、結果のみを報告します。
exp(sqrt(68)*Pi)≒((215*sqrt(17)+895)*sqrt((1+sqrt(17))/2)+335*sqrt(17)+1395)^3-744
[誤差 -1.10477740755*10^(-6) ]
exp(sqrt(84)*Pi)≒((672*sqrt(3)+1164)*sqrt((5-sqrt(21))/2)+1380*sqrt(3)+2400)^3
*(2+sqrt(3))*((sqrt(3)-1)*sqrt((5-sqrt(21))/2)+sqrt(3))^2-744
[誤差 -6.15877854789*10^(-8) ]
exp(sqrt(132)*Pi)≒(4380*sqrt(3)+5280*(1+sqrt(33))/2+9480*sqrt((7+sqrt(33))/2)+12600)^3
*(2-sqrt(3))*(sqrt(3)+(1+sqrt(33))/2+sqrt((7+sqrt(33))/2)+1)^2-744
[誤差 -4.15642116793*10^(-11) ]
Pari/GPで、以下のように簡単に確認できる。
gp > default(realprecision,300)
gp > exp(sqrt(68)*Pi)-(((215*sqrt(17)+895)*sqrt((1+sqrt(17))/2)+335*sqrt(17)+1395)^3-744)
%30 = -1.10477740755315481503982676728770778678198801343966607556967819273772
880374942048244195311383278511998981668857118240178172327803101152761918
040199223670985434322450759781176654974538943259162838831724566560397105
719093225165832935082615683505704226011526850778880531290880032601565189
171134573080641 E-6
gp > exp(sqrt(84)*Pi)-(((672*sqrt(3)+1164)*sqrt((5-sqrt(21))/2)+1380*sqrt(3)+2400)^3
*(2+sqrt(3))*((sqrt(3)-1)*sqrt((5-sqrt(21))/2)+sqrt(3))^2-744)
%94 = -6.15877854789584391324536415251992520314110678087357407403385031641637
732011030399773945511478340636170937444175212782896105426857072085208323
844390682313927857997426561708217213502726609160026307525276521620607303
404533404579502058007189385965794526077031277948163275868067873270861517
8682 E-8
gp > default(realprecision,500)
gp > exp(sqrt(132)*Pi)-((4380*sqrt(3)+5280*(1+sqrt(33))/2+9480*sqrt((7+sqrt(33))/2)+12600)^3
*(2-sqrt(3))*(sqrt(3)+(1+sqrt(33))/2+sqrt((7+sqrt(33))/2)+1)^2-744)
%206 = -4.1564211679367045831568428904592649632223148147918530078713784440284
8583253806746191377130100071537918527343281165274893171483324162517883
2984353210627430422228985544690531445849741757774913092658038254461378
6344861898086067073766956586612026306866994062645566904810934691288199
6583168821740446914556946524566223108816173283633743351491139382348398
4022128387124695633428042540273983163900354019649542536703170352648232
7213404519625993449960472675121256939533380645603910504673351750 E-11
