Bn：1,-1/2,1/6,0,-1/30,0,1/42,0,-1/30,0,5/66,0,･･･
というものがある。一見不規則に感じるが、関数x/(exp(x)-1)での
the power series sum of a_n*x^n/n! by sum of a_n*x^n 型での展開をすれば、
gp > serlaplace(x/(exp(x)-1))
%359 = 1 - 1/2*x + 1/6*x^2 - 1/30*x^4 + 1/42*x^6 - 1/30*x^8 + 5/66*x^10
- 691/2730*x^12 + 7/6*x^14 + O(x^16)
と、確かに上記の数列は、x^nの係数として対応してくれる。
一方、最初は規則的に並べられた
M0=[1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,1/7,1/8,1/9,1/10,･･･]
の列から、隣同士に並ぶA、Bに対し、C=n*(A-B) (n=1,2,3,･･･）として、新しくCなる数を次々
に作っていき下に並べていく。
1*(1-1/2)=1/2、2*(1/2-1/3)=1/3、3*(1/3-1/4)=1/4、4*(1/4-1/5)=1/5、･･･ から
M1=[1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,1/7,1/8,･･･]
上記の作業を繰り返す。
1*(1/2-1/3)=1/6、2*(1/3-1/4)=1/6、3*(1/4-1/5)=3/20、･･･ から
M2=[1/6,1/6,3/20,2/15,5/42,3/28,･･･]
以下同様に、
M3=[0,1/30,1/20,2/35,5/84,5/84,7/120,･･･]
M4=[-1/30,-1/30,-3/140,-1/105,0,1/140,･･･]
M5=[0,-1/42,-1/28,-4/105,-1/28,-29/924,･･･]
M6=[1/42,1/42,1/140,-1/105,-5/231,-9/308,･･･]
M7=[0,1/30,1/20,8/165,5/132,295/12012,･･･]
M8=[-1/30,-1/30,1/220,7/165,200/3003,･･･]
M9=[0,-5/66,-5/44,-44/455,-629/12012,･･･]
M10=[5/66,5/66,-1017/20020,-2663/15015,･･･]
･････････････････
さて、こうした作業から作られていく各集合での先頭の数に着目すると、
1,1/2,0,-1/30,0,1/42,0,-1/30,0,5/66,0,･･･
と、正に最初に並べた数列とn=1の部分（-1/2と1/2の違いが起こる。）以外はピタリ一致し
ている。ちなみに下記のプログラムで作業をその先までやらせてみました。
gp > M=vector(21,i,1/i);
gp > B=[1];
gp > for(n=1,20,S=[];for(i=1,#M-1,S=concat(S,i*(M[i]-M[i+1])));
M=S;B=concat(B,M[1]));B
%309 = [1, 1/2, 1/6, 0, -1/30, 0, 1/42, 0, -1/30, 0, 5/66, 0,
-691/2730, 0, 7/6, 0, -3617/510, 0, 43867/798, 0, -174611/330]
ベルヌーイ数は自然数のべき乗の和を求めるための公式で有名ですが、美的に公式を作
るには、母関数x/(exp(x)-1)から決まるB1=-1/2ではなく、
M0=[1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,1/7,1/8,1/9,･･･]と整列されたものから決まっていく
B1'=1/2 を採用しないと、
1+2+3+･････････+n=1/2*(C(2,0)*B0*n^2+C(2,1)*B1'*n) =1/2*n^2+1/2*n
1+2^2+･･･+n^2=1/3*(C(3,0)*B0*n^3+C(3,1)*B1'*n^2+C(3,2)*B2*n) =1/3*n^3+1/2*n^2+1/6*n
1+2^3+･･･+n^3=1/4*(C(4,0)*B0*n^4+C(4,1)*B1'*n^3+C(4,2)*B2*n^2+C(4,3)*B3*n)
=1/4*n^4+1/2*n^3+1/4*n^2
1+2^4+･･･+n^4=1/5*(C(5,0)*B0*n^5+C(5,1)*B1'*n^4+C(5,2)*B2*n^3+C(5,3)*B3*n^2+C(5,4)*B4*n)
=1/5*n^5+1/2*n^4+1/3*n^3-1/30*n
････････････････････････････
という等式にはできない。（B1=-1/2で上記の等式は成立しない。）
どうして未だにベルヌーイ数のn=1での値は-1/2であるのだろう？使い勝手では絶対に1/2
にしておくべきと思うのだが・・・。
gp > bernfrac(1)
%361 = -1/2
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和３年８月１２日付け）
「両者が唯一異なる点は、B1の符号が、定義1の場合はマイナス、定義2の場合はプラス
になるという点である。」
という記述を、「ベルヌーイ数とベルヌーイ多項式」で見つけました。
