対し、昔オイラーが、sが偶数である時は円周率πと深く関わり、具体的な明示式を下記の
形で示してくれていた。
zeta(2)=π^2/6
zeta(4)=π^4/90
zeta(6)=π^6/945
zeta(8)=π^8/9450
zeta(10)=π^10/93555
zeta(12)=π^12/638512875
zeta(14)=2*π^14/18243225
zeta(16)=3617*π^16/325641566250
････････････････
先に進むと決して分子は1になるわけではなく、いかにもランダムそうな分数が並んでいく。
この先の並びは、一般に、π^(2*n)に、次の様な分数を乗じたものとなる。
43867/38979295480125,
174611/1531329465290625,
155366/13447856940643125,
236364091/201919571963756521875,
1315862/11094481976030578125,
6785560294/564653660170076273671875,
････････
と、いかにもとらえ難い。ところがこのそれぞれを4^(n-1)で割った係数にして合計していくと
π^2/6+π^4/(90*4)+π^6/(945*4^2)+π^8/(9450*4^3)+π^10/(93555*4^4)
+π^12/(638512875*4^5)+2*π^14/(18243225*4^6)+3617*π^16/(325641566250*4^7)+･･･
が永遠に続くが、なんとこの和の極限値はあっさりとした「2.00000000000000000････」になる
ことに衝撃を受けた。
