ｎ は、３以上の整数とする。ｘ＋ｙ＋ｚ＝ｎ を満たす全ての正の整数の組(ｘ，ｙ，ｚ)に対して、
その積ｘｙｚを考え、それらの全ての和をＳ[ｎ]とする。

　例えば、Ｓ[５]＝３･１･１＋１･３･１＋１･１･３＋２･２･１＋２･１･２＋１･２･２＝２１

　Ｓ[ｎ]を、ｎの式で表してください。


（コメント）　具体例をもっと計算してみると、

　Ｓ[３]＝１、Ｓ[４]＝６、Ｓ[５]＝２１、Ｓ[６]＝５６、Ｓ[７]＝１２６、Ｓ[８]＝２５２、Ｓ[９]＝４６２

これらから「整数列大辞典」で検索してみましたが、まだ掲載されていない内容のようです。


　らすかるさんからのコメントです。（令和３年７月１３日付け）

　ｎ個の○を ｘ、ｙ、ｚ 個に分けたときの積は、

　ｘ個の中から1つ選び、ｙ個の中から1つ選び、ｚ個の中から1つ選ぶ組合せの数

なので、ｎ＋２個の○から、５個を選び、左から順に、

　「ｘ個から1つ選んだもの」　、「ｘとｙの仕切り」　、「ｙ個から1つ選んだもの」　、

　「ｙとｚの仕切り」　、「ｚ個から1つ選んだもの」

と考えれば、その中には条件を満たす組合せがちょうど全て含まれていて、ｘｙｚ の和になる。

　よって、　Ｓ[ｎ]＝_n+2Ｃ₅


　QWERTYさんからのコメントです。（令和３年７月１３日付け）

　らすかるさん、ありがとうございます。あざやかですね。


（コメント）　例えば、ｎ＝４　のとき、　２・１・１＋１・２・１＋１・１・２＝６　は、次のように解釈
　　　　　　される。

　○○○○　→　○○｜○｜○　または　○｜○○｜○　または　○｜○｜○○

これを、　◎●｜○｜○　または　○｜◎●｜○　または　○｜○｜◎●　と考えて、

　◎●｜○｜○　→　◎｜○｜○　または　●｜○｜○

　○｜◎●｜○　→　○｜◎｜○　または　○｜●｜○

　○｜○｜◎●　→　○｜○｜◎　または　○｜○｜●

の、計６通りが得られる。

　また、ｎ＝５　のとき、　３･１･１＋１･３･１＋１･１･３＋２･２･１＋２･１･２＋１･２･２＝２１　は、
次のように解釈される。

　○○○○○　→　○○○｜○｜○　または　○｜○○○｜○　または　○｜○｜○○○

　　　　　　　　　　　○○｜○○｜○　または　○○｜○｜○○　または　○｜○○｜○○

これを、　◎●△｜○｜○　または　○｜◎●△｜○　または　○｜○｜◎●△

　　　　　　◎●｜◎●｜○　または　◎●｜○｜◎●　または　○｜◎●｜◎●

と考えて、

◎●△｜○｜○　→　◎｜○｜○　または　●｜○｜○　または　△｜○｜○



○｜◎●△｜○　→　○｜◎｜○　または　○｜●｜○　または　○｜△｜○



○｜○｜◎●△　→　○｜○｜◎　または　○｜○｜●　または　○｜○｜△



◎●｜◎●｜○　→　◎｜◎｜○　または　◎｜●｜○

　　　　　　　　　　　　　●｜◎｜○　または　●｜●｜○

◎●｜○｜◎●　→　◎｜○｜◎　または　◎｜○｜●

　　　　　　　　　　　　　●｜○｜◎　または　●｜○｜●

○｜◎●｜◎●　→　○｜◎｜◎　または　○｜◎｜●

　　　　　　　　　　　　　○｜●｜◎　または　○｜●｜●

の、計２１通りが得られる。


（コメント）　面白い数え方に感動しました！らすかるさんに感謝します。