a^3+b^3+c^3+c^3=d^3
らすかるさんからのコメントです。（令和３年５月１日付け）
以下で、「≡」は、すべて mod 7 です。
1^3≡2^3≡4^3≡8^3≡9^3≡1 、3^3≡5^3≡6^3≡-1 、7^3≡0
(右辺)≡0 つまり、d=7 の場合、
c=6のとき、c^3+c^3=432＞343=7^3 となり、不適
c≦5のとき、a^3+b^3+c^3+c^3≦3^3+4^3+5^3+5^3=341＜343=7^3 となり、不適
(右辺)≡-1つまりd=3,5,6の場合
c＜6 から、a^3、b^3、c^3≡±1 だが、±1を4つ足しても -1 にならないので不適
(右辺)≡1 の場合、mod 7 で±1を偶数個足しても 1 にはならないので、左辺には、
mod 7 で 0 となる項、すなわち、7 が奇数個必要。
しかし、3個は不可能なので、1個。
左辺に、7 が1個ならば、それは b しかありえず、c=8、d=9 となるが、
8^3+8^3=1024＞729=9^3 なので、不適。
従って、解なし。
スモークマンさんからのコメントです。（令和３年５月１日付け）
パソコンですけど...、 5^3+6^3+1^3+1^3=7^3
(6-1)^3+(7-1)^3-6^3-7^3=-218
so... 5^3+6^3-6^3-7^3+2=-216=-6^3
5^3+6^3+1+1=7^3 みたいなことになってるのねぇ...^^
よおすけさんからのコメントです。（令和３年５月１日付け）
ごめんなさい。当初出した等式に誤りがありました。正しくは、 a^3+b^3+c^3=d^3
また、a、b、c、d についても、1〜9の相異なる数で、a＜b＜c＜d です。
スモークマンさんからのコメントです。（令和３年５月１日付け）
わたしのは...そもそも、a<b<c を満たしていませんでしたわ ^^;;
らすかるさんからのコメントです。（令和３年５月１日付け）
1^3、2^3、…、9^3 を 13 で割った余りは、順に 1、8、1、12、8、8、5、5、1 なので、
余りは、1、5、8、12 の4種類しかない。
1、5、8、12 から重複を許して３個選ぶ組合せ 20通りすべてについて、mod 13で足すと、
1、5、8、12 になるものは、
(a,b,c,d)≡(1,1,12,1)、(1,5,8,1)、(1,5,12,5)、(1,8,12,8)、(1,12,12,12)、(5,5,8,5)、(5,8,8,8)、(5,8,12,12)
の8通り。ただし、12が2個以上 または 5が3個含まれるものは不可能なので、それを除くと、
(a,b,c,d)≡(1,1,12,1)、(1,5,8,1)、(1,5,12,5)、(1,8,12,8)、(5,8,8,8) (mod 13) の5通り。
これを満たす全ての組み合わせは、
(a,b,c,d)≡(1,1,12,1) のとき、(a,b,c,d)=(1,3,4,9)
(a,b,c,d)≡(1,5,8,1) のとき、
(a,b,c,d)=(1,2,7,9)、(1,2,8,9)、(1,5,7,9)、(1,5,8,9)、(1,6,7,9)、(1,6,8,9)、(2,3,7,9)、(2,3,8,9)、(3,5,7,9)、
(3,5,8,9)、(3,6,7,9)、(3,6,8,9)
(a,b,c,d)≡(1,5,12,5) のとき、(a,b,c,d)=(1,4,7,8)、(3,4,7,8)
(a,b,c,d)≡(1,8,12,8) のとき、(a,b,c,d)=(1,2,4,5)、(1,2,4,6)、(1,4,5,6)、(2,3,4,5)、(2,3,4,6)、(3,4,5,6)
(a,b,c,d)≡(5,8,8,8) のとき、(a,b,c,d)=(2,5,6,7)、(2,5,6,8)
の計23通り
n^3≡n (mod 3) から、a+b+c≡d (mod3) でなければならないので、これを満たさないもの
を除外すると、
(a,b,c,d)=(1,6,8,9)、(2,3,7,9)、(3,5,7,9)、(3,4,7,8)、(2,3,4,6)、(3,4,5,6)、(2,5,6,7) の7通り
さらに、mod 7 で、 1^3≡2^3≡4^3≡8^3≡9^3≡1 (mod7) 、3^3≡5^3≡6^3≡-1 (mod7)
7^3≡0 (mod7) なので、これを満たさないものを除外すると、
(a,b,c,d)=(1,6,8,9)、(3,4,5,6) の2通り
この２つについて計算すると、いずれも条件を満たすので、この２つが解。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和３年５月２日付け）
次の等式が成り立つように整数 a、b、c、d、ｅ を求めよ。ただし、1≦a＜b＜c＜d＜ｅ≦20
とする。
a^3+b^3+c^3+d^3=e^3
なら、 (a,b,c,d,e)=(5,7,9,10,13)、(11,12,13,14,20) が存在するようです。
また、1≦a＜b＜c＜d＜e＜f≦12で、a^3+b^3+c^3+d^3+e^3=f^3 なら、
(a,b,c,d,e,f)=(1,3,4,5,8,9)、(3,4,5,8,10,12)
更に、1≦a＜b＜c＜d＜e＜f＜g≦13で、a^3+b^3+c^3+d^3+e^3+f^3=g^3 なら、
(a,b,c,d,e,f,g)=(1,5,6,7,8,10,13)
となるようです。
