・同じものを含む順列                        GAI 氏

 同じ数字を含むのを許し、全部で6個の数字でのすべての順列について考察すると、同じ
もの同士の数で分類すると、

(1) [6]:{a,a,a,a,a,a}
(2) [1,5]:{a,b,b,b,b,b}
(3) [2,4]:{a,a,b,b,b,b}
(4) [3,3]:[a,a,a,b,b,b]
(5) [1,1,4]:{a,b,c,c,c,c}
(6) [1,2,3]:{a,b,b,c,c,c}
(7) [2,2,2]:{a,a,b,b,c,c}
(8) [1,1,1,3]:{a,b,c,d,d,d}
(9) [1,1,2,2]:{a,b,c,c,d,d}
(10) [1,1,1,1,2]:{a,b,c,d,e,e}
(11) [1,1,1,1,1,1]:{a,b,c,d,e,f}

の11通りに分類される。

 そこで、例えば、(6):[1,2,3]パターンとなる{1,2,2,3,3,3}から発生するすべての順列

  6!/(2!*3!)=60(通り)

からの6桁の整数をすべて合計した時の値を求める式が、

  (1+2+2+3+3+3)*111111*6!/72

で求まりそうです。

 もし、{4,8,8,5,5,5}から発生するすべての6桁の整数の和なら

  (4+8+8+5+5+5)*111111*6!/72

となります。このような和が、他のパターンでは、

(1) 6*a*111111*6!/4320
(2) (a+5*b)*111111*6!/720
(3) (2*a+4*b)*111111*6!/288
(4) (3*a+3*b)*111111*6!/216
(5) (a+b+4*c)*111111*6!/144
(6) (a+2*b+3*c)*111111*6!/72
(7) (2*a+2*b+2*c)*111111*6!/48
(8) (a+b+c+3*d)*111111*6!/36
(9) (a+b+2*c+2*d)*111111*6!/24
(10) (a+b+c+d+2*e)*111111*6!/12
(11) (a+b+c+d+e+f)*111111*6!/6

でいけそうです。

(6!の部分を割る数をどの様な計算式で導けるのかはまだ掴めていません。)

 これを元に、7個の場合に挑戦していたら、

  [2,2,3]:{a,a,b,b,c,c,c} と [1,1,1,4]:{a,b,c,d,d,d,d}

が共に、

  (2*a+2*b+3*c)*1111111*7!/168
  (a+b+c+4*d)*1111111*7!/168

となったのが興味を引きました。

<具体例> M1={3,3,5,5,9,9,9} から発生する210個の7桁整数の総和=1433333190

 一方、(3+3+5+5+9+9+9)*1111111*7!/168=1433333190

 M2={2,3,5,7,7,7,7} から発生する210個の7桁整数の総和=1266666540

 一方、(2+3+5+7+7+7+7)*1111111*7!/168=12666666540

 なお、7個の場合の全パターンは以下の様になりました。但し(各桁の和)*1111111*7! を割る数
字だけを記しておきます。

(1) [7]: 35280
(2) [1,6]: 5040
(3) [2,5]: 1680
(4) [3,4]: 1008
(5) [1,1,5]: 840
(6) [1,2,4]: 336
(7) [1,3,3]: 252
(8) [2,2,3]: 168
(9) [1,1,1,4]: 168
(10) [1,1,2,3]: 84
(11) [1,2,2,2]: 56
(12) [1,1,1,1,3]: 42
(13) [1,1,1,2,2]: 28
(14) [1,1,1,1,1,2]: 14
(15) [1,1,1,1,1,1,1]: 7

 何方か、この数列のルールを発見願いたい。


 DD++さんからのコメントです。(令和3年4月29日付け)

 例えば、(6):[1,2,3]パターンとなる{1,2,2,3,3,3}から発生するすべての順列

  6!/(2!*3!)=60(通り)

からの6桁の整数をすべて合計した時の値を求める式が、

 (1+2+2+3+3+3)*111111*6!/72=(1+2+2+3+3+3)/6*111111*6!/(2!*3!)

という感じですね。(→ 平均*個数=合計)



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