には 0 を、印をつけてみました。1 の印がついているものは、全部で 76 口あります。
76 ＝ ((5+1)*2)*(5+1) ＋ (10-(5+1))
となっています。
なお、知人からメールをもらいまして、 52口 でも大丈夫とのことでした。詳細不明です。
DD++さんからのコメントです。（令和３年４月１３日付け）
私がひとまず考えていたのも 52 口という解でしたが、最少かといえば自信はないですね。
DD++さんからのコメントです。（令和３年４月１４日付け）
やっぱり 52 口未満の解はなかなか構成できませんね。とりあえず 52 口の解を掲載して
おきます。
000 016 025 034 043 052 061
106 115 124 133 142 151 160
205 214 223 232 241 250 266
304 313 322 331 340 356 365
403 412 421 430 446 455 464
502 511 520 536 545 554 563
601 610 626 635 644 653 662
777 888 999
これでどんな場合でも全ハズレはないはず。
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和３年４月１５日付け）
確認致しました。全ハズレはないと思います。
知人から詳細が届きましたが、同じ解の別表現でした。７×７×７の部分の起点が違うだ
けで、３×３×３の部分は同じでした。
私には７−３に分ける発想は最後まで出ませんでした。先にご案内した 76口 の私の解は、
６−４に分ける発想からです。
６−４に分ける発想の出元は 二次元バージョンからでして、１０×１０、2桁、100口では
６−４に分けることが最善だからなのでした。
次元をひとつあげるときに、この発想を固守してしまったことが間違いのもとでした。
以下、１０×１０口の二次元の場合に、これを１０行、１０列で並べてみることを考えます。
らすかるさんからのご教示に従いますと、各行ごとに含まれる口数の合計を求めて大きい
もの順にソートすると、
2 2 2 2 2 2 1 1 1 1
にならなくてはなりません。列についても同様です。
このことから、元の二次元の配列では、 16口あれば十分とわかります。また、15口では不
足で、全ハズレの可能性を排除できません。
実際には、例えば、次のようなものになります。
1100000000
0110000000
0011000000
0001100000
0000110000
1000010000
0000001000
0000000100
0000000010
0000000001
６×６の部分と４×４の部分に分けて考えれば、各行、各列ともに、
2 2 2 2 2 2 1 1 1 1
の口数、計１６口を購入することになります。
これが、私の６−４に分ける発想の原点です。二次元では１６口あればよいと。
さて、私による三次元バージョン、76口購入パターンなのですが。
行、列の他に、ここでは「段」という三つ目の次元の表現を、今回は使わせて頂きます。
10行10列10段の配列のなかに、購入すべき口を記したとします。このとき、任意の5段を
ハズレとして排除し、同様に行や列についても順にハズレを排除していったときに、全ハズ
レにならないように宝くじを購入したいのですが……
ここで私は間違えました。すなわち、
最初に5段をハズレとして排除した後に、残る5段を1段に潰して（射影をとって）二次元に持
ち込めば良いだろうと。二次元については解がわかっていて、各行、各列ともに
2 2 2 2 2 2 1 1 1 1
の口数、計16口を購入してあればよいと。６×６×６の部分と４×４×４の部分とを組み合わ
せればよいと。ここから、 76口の解を捻り出したのでした。
さて、DD++さんによる 52口の解を調べますと次のようになっています。
各行、各列ともに
2 2 2 2 2 2 2 1 1 1
の口数、計17口を購入してあって７×７×７の部分と３×３×３の部分とを組みあわせてあり
ます。
この効果は絶大で、各段ごとに購入する口数を節約できています。このメリットと引き換え
に些細なデメリット、すなわち、5段のハズレを排除して二次元につぶしたときに、私が期待
していた16口ではなく17口を購入していることを我慢しなけれはならないということになるわ
けです。
…それにしても私はなんと頭の固いことでしょう。ガッカリしました。
ちなみに、私は以下のような作業テーブルを紙上で作って、色付きボールペンで様々なマ
ークをつけながら勘定をしていました。
97+5+3+1++
806+4+2+++
+593+1+7++
6+402+8+++
+3+197+5++
4+2+806+++
+1+7+593++
2+8+6+40++
++++++++99
++++++++00
「+」は買わないクジです。「0」から「9」までは 100の位（段）を示します。
色々な組み合わせでハズレの5段を排除したのちに、目標とした行列になるかどうか調べ
るというものでした。闇雲戦法です。
※上は、44口でイケるかもと書いたものの、すぐに、(‘jjj’)／ じぇじぇじぇ となったものです。
DD++さんからのコメントです。（令和３年４月１６日付け）
副産物として見つけた面白いものを。
壺に 30 個の球を入れておきます。球は赤白青の 3 色が 10 個ずつあり、各色の 10 個の
球には 0 から 9 までの数字がひとつずつ記入されています。
（１）この壺のなかの球をよくかきまぜてから無作為に 15 個の球を取り出します。取り出した
球の中に 2 色しか含まれなかった場合は、球を全て壺に戻して 3 色で出るまで同じ操作
をやり直します。
（２）取り出したうち赤い球について、それぞれの球に書かれた数字を百の位の当選番号とし
ます。
（３）取り出したうち白い球について、それぞれの球に書かれた数字を十の位の当選番号とし
ます。
（４）取り出したうち青い球について、それぞれの球に書かれた数字を一の位の当選番号とし
ます。
（５）購入者による 3 桁の申し込み数字の百の位の数字が（２）の当選番号に含まれていて、
かつ、十の位の数字が（３）の当選番号に含まれていて、かつ、一の位の数字が（４）の当
選番号に含まれている場合に、その一口は当選とします。
当選番号は最少で 40 個、最多で 125 個、特定の一口が当選する確率は約 11.21% です。
72 口の購入で少なくとも一口当選するような購入の仕方を見つけてください。
＃当然ながら、球を各色 5 個ずつ取り出す指定を加えれば元の問題設定になりますので、
この 72 口の解は Dengan さんの問題の 72 口の解として成立します。
DD++さんからのコメントです。（令和３年４月１８日付け）
どなたからも解答が出ないまま数日経つので、想定解を投稿します。
答えは非常にすっきりと記述できて、
「各桁の数の和を 13 で割った余りが 7 になるものを全て購入する」
でした。念のため具体的に書き出すと、
007 016 025 034 043 052 061 070
106 115 124 133 142 151 160
205 214 223 232 241 250 299
304 313 322 331 340 389 398
403 412 421 430 479 488 497
502 511 520 569 578 587 596
601 610 659 668 677 686 695
700 749 758 767 776 785 794
839 848 857 866 875 884 893
929 938 947 956 965 974 983 992
の 72 口。
以下、n を 2 以上の自然数、p を素数とします。
n 色の球 p 個ずつにそれぞれ 0 から p-1 までの数が書いてあるとして、そこからいくつか
の球を選び出すとき、
「各色少なくとも 1 つは取り出されている」
「全部で n+p-1 個以上取り出されている」
の 2 つが満たされる任意の選び方に対して、
「その中から各色 1 個ずつを適切に使って合計を p で割った余りが 0 以上 p-1 以下の
任意の数になるようにできる」
が成り立つようです。すなわち、今回のくじの言葉に直せば、各桁の合計を p で割った余り
がある値になるものを全て購入しておけば必ず当たるということになります。
私の問題では、 n=3 で p=13 にしています。
このとき、n+p-1=15 なので球の個数は足りています。また、数字は 9 までしかありません
が、これは 12 まである場合に内包されます。
したがって、どの取り出し方でも 13 で割った余りとして任意の数が作れることになります。
000 から 999 までを各桁の合計を 13 で割った余りで分類すると、余りが 7 になる組み合
わせが最も少ない 72 パターンなので、これを全部買えばよいという解答にたどり着きます。
実は、Dengan さんの問題に対して、私が提示した 52 口の解もこれに関連しています。
球を各色 5 個取り出せば、
「6以下の数字が9個以上ある（しかも各色 1 つ以上ある）」
「7以上の数字が7個以上ある」
のどちらかが必ず成立します。
前者は n=3 で p=7 の場合の余りが 0 になる 49 パターン、後者は 777 888 999 を用意し
ておけば必ず当たる、というカラクリになっています。
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和３年４月１９日付け）
毎日考えておりましたが、このような素晴らしい方法には巡り会えませんでした。楽しい出
題をまことに有り難うございます。
（これから衝撃を受け止めて肥やしにする作業に入ります。）
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和３年４月２０日付け）
DD++さんのご投稿：
やっぱり 52 口未満の解はなかなか構成できませんね。とりあえず 52 口の解を掲載して
おきます。
000 016 025 034 043 052 061
106 115 124 133 142 151 160
205 214 223 232 241 250 266
304 313 322 331 340 356 365
403 412 421 430 446 455 464
502 511 520 536 545 554 563
601 610 626 635 644 653 662
777 888 999
これでどんな場合でも全ハズレはないはず。
についてなのですが．．．。
ちょっと頭が加熱しすぎておりまして自信がございませんけれども、「000」を取り除いた 51
口 でも、全ハズレが無いような気がいたします。
風邪気味故にボーッとしておりまして……見落としがあったならば申し訳ありません。お確
かめ頂けないでしょうか。
らすかるさんからのコメントです。（令和３年４月２０日付け）
(10Ｃ5)^3=16003008（通り） のうち、162通りが全ハズレになります。
例えば、
百の位が0,1,2,3,4 、十の位が0,1,7,8,9 、一の位が0,1,7,8,9
で全ハズレです。
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和３年４月２０日付け）
らすかるさん、本当に有り難うございます。全調査…御手数をおかけいたしました。なぜか
わかりませんが完全に私のボーンヘッドでして、このパターンを全く調べておりませんでした。
DD++さんへも、この 52 口の解のご教示について、あらためて御礼申し上げます。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和３年４月２１日付け）
例の52口から000だけを除いたものでは、(10Ｃ5)^3=16003008（通り） のうち、162通りが
全ハズレというらすかるさんの調査が面白かったので、つぎの016だけを除いたもので調査
してみると、やはり162通りでした。
[0,1,2,3,4]:百位 、[1,2,7,8,9]:十位 、[0,6,7,8,9]:一位 がその一つの例
････････････
以下同様662までその一つを除くと、162通りが全く解を持たなくなりました。
（構成方法からして当然と言えば当然でしょうがこの点全く平等)
そこで次の777,888,999では各1323通りの組合わせで全く解は存在しなくなりました。
777では、 [0,1,2,3,7]:百位 、[0,1,7,8,9]:十位 、[1,2,7,8,9]:一位 がその一つの例
ついでにDD++さんの出題問題で、3桁の数字の和Wを13で割って余りが7を決められた経
緯を確認したら、
Mod(W,13)=0->78個
Mod(W,13)=1->79
Mod(W,13)=2->79
Mod(W,13)=3->79
Mod(W,13)=4->78
Mod(W,13)=5->76
Mod(W,13)=6->73
Mod(W,13)=7->72
Mod(W,13)=8->73
Mod(W,13)=9->76
Mod(W,13)=10->78
Mod(W,13)=11->79
Mod(W,13)=12->79
から、余りを7とすることで、最小数で構成できることがわかりました。数が微妙に変化し、最
小数が決定できるんですね。でも難問です。
DD++さんからのコメントです。（令和３年４月２２日付け）
GAIさんの Mod(W,13)=0->78個 ・・・ 000 を数え漏らしてませんかね？
以下、工事中！
