ｘ、ｙ は任意の値であることを前提に、以下の関数が凸関数であるかどうかを確認するに
は、どのようにすれば良いでしょうか。

　Ｆ（ｘ ，ｙ）＝x^4＋x^2＋xy＋y^2


（解）　Ｆ_ｘ（ｘ ，ｙ）＝４x^3＋２x＋y＝０　、Ｆ_ｙ（ｘ ，ｙ）＝x＋２y＝０　を解いて、（ｘ ，ｙ）＝（０ ，０）

　このとき、　Ｆ_ｘｘ（ｘ ，ｙ）＝１２x^2＋２　、 Ｆ_ｘｙ（ｘ ，ｙ）＝１　、 Ｆ_ｙｙ（ｘ ，ｙ）＝２　なので、

　Ｆ_ｘｘ（０ ，０）Ｆ_ｙｙ（０ ，０）−Ｆ_ｘｙ²（０ ，０）＝２×２−１＝３＞０　、　Ｆ_ｘｘ（０ ，０）＝２＞０

　よって、曲線は、（０ ，０）で極小となる。

　極小となっても凸関数とは即断できないので、ヘッセ行列を用いた判定条件

　（ｕ，ｖ）［｛１２x^2＋２，１｝，｛１，２｝］^ｔ（ｕ，ｖ）＝１２x^2ｕ^2＋２（ｕ^2＋ｕｖ＋ｖ^2）≧０

から、凸関数と言える。　　（終）