ニコラウス・メルカトル級数として、　1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+･･･＝log２　という等式が示
されている。

そこで、では、log３、log４、log５、･･･　はどうなるんだろう？この疑問を解消しようと、いろい
ろやってみたら、次のことに気付いた。

log２＝�納k=1,∞] (-1)^(k-1)・(1/k)＝�納k=1,∞] ｛1/(2k-1)-1/(2k)｝

　　＝�納k=1,∞] ｛1/(2k-1)+1/(2k)-1/k｝

の形式を元にして、

log３＝1+�納k=1,∞] ｛1/(3k-1)+1/(3k)+1/(3k+1)-1/k｝

log４＝1+1/2+�納k=1,∞] ｛1/(4k-1)+1/(4k)+1/(4k+1)+1/(4k+2)-1/k｝

log５＝1+1/2+1/3+�納k=1,∞] ｛1/(5k-1)+1/(5k)+1/(5k+1)+1/(5k+2)+1/(5k+3)-1/k｝

log６＝1+1/2+1/3+1/4+�納k=1,∞] ｛1/(6k-1)+1/(6k)+1/(6k+1)+1/(6k+2)+1/(6k+3)+1/(6k+4)-1/k｝

以降プログラムを作って、log ｎ を確認していくと、これで大丈夫でした。


　らすかるさんからのコメントです。（令和３年１月２６日付け）

log２＝Σ｛1/(2k-1)+1/(2k)-1/k｝

log３＝Σ｛1/(3k-2)+1/(3k-1)+1/(3k)-1/k｝

log４＝Σ｛1/(4k-3)+1/(4k-2)+1/(4k-1)+1/(4k)-1/k｝

log５＝Σ｛1/(5k-4)+1/(5k-3)+1/(5k-2)+1/(5k-1)+1/(5k)-1/k｝

log６＝Σ｛1/(6k-5)+1/(6k-4)+1/(6k-3)+1/(6k-2)+1/(6k-1)+1/(6k)-1/k｝

のようにすることもできますね。