初めての大学入学共通テストが令和３年１月１６日・１７日の両日行われた。大雪で会場
全体が延期になったり、試験時間を間違えて会場ごと延期になったりと、これらは例年起こ
りえる事例ではあったが、今年は会場内でマスクをずらして鼻を出していた受験生が再三の
警告を無視したとかで失格となったのはコロナ禍らしい出来事であった。別室に隔離すれば
済む話で失格はいくらなんでも厳しすぎないだろうか？ともあれテストは無事終了した。

　今、数学�T・Ａの問題を眺めていて、だいぶ問題の出題傾向が変わったなというのが率直
な感想である。

　その中で、面白そうな問題が次の問題である。問題が長文なので、一部省略です。

第４問　　円周上に１５個の点Ｐ₀、Ｐ₁、・・・、Ｐ₁₄が反時計回りに順に並んでいる。最初、
　　　　　点Ｐ₀に石がある。

　さいころを投げて偶数の目が出たら石を反時計回りに５個先の点に移動させ、奇数の目
が出たら石を時計回りに３個先の点に移動させる。この操作を繰り返す。
＃（１）は省略します。

　偶数の目が出る回数をｘ、奇数の目が出る回数をｙとおく。（２）（３）は解答です。

（２）（３）　点Ｐ₀にある石を点Ｐ₈に移動させるのに、時計回りだと、５ｘ-３ｙ＝８　を解いて、
　　ｘ＝4、ｙ＝4　なので、さいころを　4＋4＝8（回）投げる必要があるが、反時計回りだと、
　　５ｘ-３ｙ＝-7を解いて、ｘ＝１、ｙ＝４　なので、さいころを1＋4＝５（回）投げればよい。

　ここで、注意書き(*)が問題文で示されている。

　　石を反時計回りまたは時計回りに１５個先の点に移動させると元の点に戻る

　したがって、点Ｐ₀にある石を点Ｐ₈に移動させるのに投げるさいころの回数の最小値は、
５回となる。

　以上を踏まえて、問題です。

（４）　Ｐ₁、・・・、Ｐ₁₄のうちから点を一つ選び、点Ｐ₀にある石を、さいころを何回か投げてそ
　　の点に移動させる。

　さいころを投げる最小回数が最も大きいのは、どの点に移動させる場合だろうか。

（解）　基本的には、不定方程式の解法となる。

Ｐ₀→Ｐ₁
（反時計回り）　５ｘ−３ｙ＝１　を解いて、　ｘ＝２、ｙ＝３　より、さいころを投げる回数は、
　　　　　　　　　２＋３＝５回
（時計回り）　５ｘ−３ｙ＝−１４　を解いて、　ｘ＝２、ｙ＝８　より、さいころを投げる回数は、
　　　　　　　２＋３＝１０回
　よって、さいころを投げる最小回数は、　５回

Ｐ₀→Ｐ₂
（反時計回り）　５ｘ−３ｙ＝２　を解いて、　ｘ＝１、ｙ＝１　より、さいころを投げる回数は、
　　　　　　　　　１＋１＝２回
（時計回り）　５ｘ−３ｙ＝−１３　を解いて、　ｘ＝１、ｙ＝６　より、さいころを投げる回数は、
　　　　　　　１＋６＝７回
　よって、さいころを投げる最小回数は、　２回

Ｐ₀→Ｐ₃
（反時計回り）　５ｘ−３ｙ＝３　を解いて、　ｘ＝３、ｙ＝４　より、さいころを投げる回数は、
　　　　　　　　　３＋４＝７回
（時計回り）　５ｘ−３ｙ＝−１２　を解いて、　ｘ＝０、ｙ＝４　より、さいころを投げる回数は、
　　　　　　　０＋４＝４回
　よって、さいころを投げる最小回数は、　４回

Ｐ₀→Ｐ₄
（反時計回り）　５ｘ−３ｙ＝４　を解いて、　ｘ＝２、ｙ＝２　より、さいころを投げる回数は、
　　　　　　　　　２＋２＝４回
（時計回り）　５ｘ−３ｙ＝−１１　を解いて、　ｘ＝２、ｙ＝７　より、さいころを投げる回数は、
　　　　　　　２＋７＝９回
　よって、さいころを投げる最小回数は、　４回

Ｐ₀→Ｐ₅
（反時計回り）　５ｘ−３ｙ＝５　を解いて、　ｘ＝１、ｙ＝０　より、さいころを投げる回数は、
　　　　　　　　　１＋０＝１回
（時計回り）　５ｘ−３ｙ＝−１０　を解いて、　ｘ＝１、ｙ＝５　より、さいころを投げる回数は、
　　　　　　　１＋５＝６回
　よって、さいころを投げる最小回数は、　１回

Ｐ₀→Ｐ₆
（反時計回り）　５ｘ−３ｙ＝６　を解いて、　ｘ＝３、ｙ＝３　より、さいころを投げる回数は、
　　　　　　　　　３＋３＝６回
（時計回り）　５ｘ−３ｙ＝−９　を解いて、　ｘ＝０、ｙ＝３　より、さいころを投げる回数は、
　　　　　　　０＋３＝３回
　よって、さいころを投げる最小回数は、　３回

Ｐ₀→Ｐ₇
（反時計回り）　５ｘ−３ｙ＝７　を解いて、　ｘ＝２、ｙ＝１　より、さいころを投げる回数は、
　　　　　　　　　２＋１＝３回
（時計回り）　５ｘ−３ｙ＝−８　を解いて、　ｘ＝２、ｙ＝６　より、さいころを投げる回数は、
　　　　　　　２＋６＝８回
　よって、さいころを投げる最小回数は、　３回

Ｐ₀→Ｐ₈
（反時計回り）　５ｘ−３ｙ＝８　を解いて、　ｘ＝４、ｙ＝４　より、さいころを投げる回数は、
　　　　　　　　　４＋４＝８回
（時計回り）　５ｘ−３ｙ＝−７　を解いて、　ｘ＝１、ｙ＝４　より、さいころを投げる回数は、
　　　　　　　１＋４＝５回
　よって、さいころを投げる最小回数は、　５回

Ｐ₀→Ｐ₉
（反時計回り）　５ｘ−３ｙ＝９　を解いて、　ｘ＝３、ｙ＝２　より、さいころを投げる回数は、
　　　　　　　　　３＋２＝５回
（時計回り）　５ｘ−３ｙ＝−６　を解いて、　ｘ＝０、ｙ＝２　より、さいころを投げる回数は、
　　　　　　　０＋２＝２回
　よって、さいころを投げる最小回数は、　２回

Ｐ₀→Ｐ₁₀
（反時計回り）　５ｘ−３ｙ＝１０　を解いて、　ｘ＝２、ｙ＝０　より、さいころを投げる回数は、
　　　　　　　　　２＋０＝２回
（時計回り）　５ｘ−３ｙ＝−５　を解いて、　ｘ＝２、ｙ＝５　より、さいころを投げる回数は、
　　　　　　　２＋５＝７回
　よって、さいころを投げる最小回数は、　２回

Ｐ₀→Ｐ₁₁
（反時計回り）　５ｘ−３ｙ＝１１　を解いて、　ｘ＝４、ｙ＝３　より、さいころを投げる回数は、
　　　　　　　　　４＋３＝７回
（時計回り）　５ｘ−３ｙ＝−４　を解いて、　ｘ＝１、ｙ＝３　より、さいころを投げる回数は、
　　　　　　　１＋３＝４回
　よって、さいころを投げる最小回数は、　４回

Ｐ₀→Ｐ₁₂
（反時計回り）　５ｘ−３ｙ＝１２　を解いて、　ｘ＝３、ｙ＝１　より、さいころを投げる回数は、
　　　　　　　　　３＋１＝４回
（時計回り）　５ｘ−３ｙ＝−３　を解いて、　ｘ＝０、ｙ＝１　より、さいころを投げる回数は、
　　　　　　　０＋１＝１回
　よって、さいころを投げる最小回数は、　１回

Ｐ₀→Ｐ₁₃
（反時計回り）　５ｘ−３ｙ＝１３　を解いて、　ｘ＝５、ｙ＝４　より、さいころを投げる回数は、
　　　　　　　　　５＋４＝９回
（時計回り）　５ｘ−３ｙ＝−２　を解いて、　ｘ＝２、ｙ＝４　より、さいころを投げる回数は、
　　　　　　　２＋４＝６回
　よって、さいころを投げる最小回数は、　６回

Ｐ₀→Ｐ₁₄
（反時計回り）　５ｘ−３ｙ＝１４を解いて、　ｘ＝４、ｙ＝２　より、さいころを投げる回数は、
　　　　　　　　　４＋２＝６回
（時計回り）　５ｘ−３ｙ＝−１　を解いて、　ｘ＝１、ｙ＝２　より、さいころを投げる回数は、
　　　　　　　１＋２＝３回
　よって、さいころを投げる最小回数は、　３回

　以上から、さいころを投げる最小回数が最も大きいのは、Ｐ₀→Ｐ₁₃の場合で、そのときの
最小回数は６回である。　　（終）


（コメント）　こんなに（４）の計算が手間取っても配点はわずかに「５点」。どことなく理不尽さ
　　　　　　を感じる。それとも、もっとエレガントな解法があるのだろうか？もっとも問題の方
　　　　　　は、「Ｐ₁、・・・、Ｐ₁₄のうち」としながら、「Ｐ₁₀、・・・、Ｐ₁₄」からの５択になっているの
　　　　　　で、計算量削減の親心で、これしか解法がないのかもしれない。
　　　　　　　因みに、（１）の配点は２点、（２）の配点は８点、（３）の配点は５点でした。


　DD++さんからのコメントです。（令和３年１月１９日付け）

　問題の文章をちゃんと読むと、(3) で 5 回と答えさせるときに、「5 個先の点に移動するの
を 4 回やるって、それ 1 回でいいよね」という考え方で、8-3 という式を誘導しています。

　これをちゃんと読んで誘導に従った人は、(4) において各点への最小回数は多くとも
2+4 = 6 回であること、そして、6 回になる可能性がある点は、5*2+(-3)*2 = -2 より P13 し
かないことに気付けると思います。

　そうすれば、あとは、P₁₃ への最小回数が本当に 6 回なのか確認するだけ……というより、
P₈ の 5 回が最大値じゃない時点で、問題を信じて「P₁₃」と「6」をマークしちゃって問題ない
んだと思います。

　全体的に、センター試験よりも「前の問題でやった計算にどういう意味があったのかをちゃ
んと理解しながら進める」ということが重要視されていて、ほとんどの大問が「よくわからない
けど計算はできた」というだけの受験生は後半の枠で詰まるような構造になっていた印象で
す。

　弊害で管理人さんのように誘導を無視して枠を埋めた場合も続きで詰むことには賛否ある
と思いますが、来年以降は問題が何をさせたいのか汲み取る必要があるという認識も広まっ
ていくことでしょう。


（コメント）　DD++さんのコメントを拝読して、注意書きの（*）の真意が分かりました。
　　　　　５×３＝１５　や　−３×５＝−１５　から、ｘについては、３の倍数分、ｙについては
　　　　５の倍数分差し引けるということですか．．．。

　だから、さいころを投げる回数は、４＋４＝８（回）が最小ではなく、（４−３）＋４＝５（回）が
最小になるわけですね！

　そうすると、ｘ の取り得る可能性は、０、１、２　で、ｙ の取り得る可能性は、０、１、２、３、４
となるので、さいころを投げる回数は、最大でも　２＋４＝６（回）　ということになる。

　このとき、５×２−３×４＝−２　より、P₀ から時計回りに２だけ進んだ点P₁₃ がすぐ見つ
かるところに感動しますね。

　上記の膨大な計算は無用だったことに愕然としました。出題者の方は、そこのところをよく
考えて作問されたわけで、出題者の親心（注意書きの（*））に痺れました。そして、DD++さん
に感謝します。


　引き続いて目についたのが第５問の問題です。何となく懐かしい趣の問題ですね。

第５問　　△ＡＢＣにおいて、ＡＢ＝３、ＢＣ＝４、ＡＣ＝５とする。∠ＢＡＣの二等分線と辺ＢＣ
　　　　　との交点をＤとする。

（１）　ＢＤ、ＡＤを求めよ。

　また、∠ＢＡＣの二等分線と△ＡＢＣの外接円Ｏとの交点で点Ａとは異なる点をＥとする。

（２）　△ＡＥＣに着目して、ＡＥを求めよ。

　△ＡＢＣの２辺ＡＢとＡＣの両方に接し、外接円Ｏに内接する円の中心をＰとする。円Ｐの半
径を ｒ とする。さらに、円Ｐと外接円の接点をＦとし、直線ＰＦと外接円Ｏとの交点で点Ｆとは
異なる点をＧとする。

（３）　ＡＰ、ＰＧを求め、方べきの定理を用いて、ｒ を求めよ。

　△ＡＢＣの内心をＱとする。

（４）　内接円Ｑの半径、ＡＱを求めよ。

　また、円Ｐと辺ＡＢとの接点をＨとする。

（５）　ＡＨを求めよ。

（６）　以上から、点Ｈに関する次の（ａ）、（ｂ）の正誤を判断せよ。
　　（ａ）　点Ｈは３点Ｂ、Ｄ、Ｑを通る円の周上にある。
　　（ｂ）　点Ｈは３点Ｂ、Ｅ、Ｑを通る円の周上にある。

（解）　上記の図を描くのも大変そうで、手書きでは混乱すること間違いなし。条件に忠実に
　　　図を描くと、下図のようになる。この図を見ながら、解いていきましょう。

（１）　ＢＤ＝４×（３/８）＝３/２ 　　ＡＤ2＝３2＋（３/２）2＝４５/４ より、ＡＤ＝３/２ 　（２）　△ＡＥＣ∽△ＡＢＤ　より、 　　３ ： ３/２＝ＡＥ ： ５　なので、　ＡＥ＝２ 　（３） △ＡＨＰ∽△ＡＢＤ より、ｒ ：３/２＝ＡＰ ：３/２ 　なので、　ＡＰ＝ｒ　また、　ＰＧ＝５−ｒ　は明らか。 　方べきの定理より、　ｒ・（５−ｒ）＝ｒ・（２−ｒ）

　よって、５ｒ−ｒ²＝１０ｒ−５ｒ²　より、　４ｒ²＝５ｒ　なので、　ｒ＝５/４　となる。

（４）　内接円Ｑの半径を ｘ とおくと、接線の長さは等しいので、

　　　４−（５−（３−ｘ））＝ｘ　より、　ｘ＝１

　△ＡＩＱ∽△ＡＢＤ　より、　２ ： ３＝ＡＱ ： ３/２　なので、　ＡＱ＝

（５）　△ＡＨＰ∽△ＡＢＤ　より、　ＡＨ ： ３＝ＡＰ ： ３/２＝（５/４） ： ３/２＝５ ： ６

　なので、　ＡＨ＝５/２

（６）　△ＡＩＱ∽△ＱＩＨ　より、　∠ＡＱＩ＝∠ＱＨＩ　なので、　∠ＱＨＩ＝∠ＱＤＢ

　　　円に内接する四角形の逆より、　四角形ＢＤＱＨは円に内接するので、（ａ）は正しい。

　また、明らかに、∠ＱＨＩ≠∠ＱＥＢ　なので、点Ｈが３点Ｂ、Ｅ、Ｑを通る円の周上にあるこ
とはないので、（ｂ）は誤りである。　　（終）


（追記）　令和３年２月１日付け

　今度は、数学�U・Ｂの問題を眺めてみよう。何となく問題が数学Ｉ・Ａに比べて易しそうに感
じられる。その中で、解いてみようと思った問題が次の問題である。この問題は選択問題の
一つで、多分多くの受験生は避けるであろう問題と思う。
（問題が長文なので、一部省略です。）

第３問　　ある高校で生徒全員を対象に直前１週間の読書時間について調査を行った。
　　　　　１００人の生徒を無作為に抽出し調査したところ、全く読書をしなかった生徒が３６
　　　　　人おり、読書時間の平均値は２０４分であった。高校全体の読書時間の母平均を
　　　　　ｍ、母標準偏差を１５０とする。

（１）全く読書をしなかった生徒の母比率を０．５とする。このとき、１００人の無作為標本のう
　　ちで全く読書をしなかった生徒の数をＸとすると、Ｘは（　　　）に従う。
　　また、Ｘの平均（期待値）は（　　　）、標準偏差は、（　　　）である。

（解）　題意より、　Ｐ（Ｘ＝ｋ）＝₁₀₀Ｃ_K(０．５）^ｋ（０．５）^100-k なので、確率変数Ｘは２項分布
　　　Ｂ（１００，０，５）に従い、Ｅ（Ｘ）＝１００×０．５＝５０

　　　Ｖ（Ｘ）＝１００×０．５×０．５＝２５　　よって、σ（Ｘ）＝√２５＝５

（２）　標本の大きさ１００は十分に大きいので、１００人のうち全く読書をしなかった生徒の数
　　は近似的に正規分布に従う。全く読書をしなかった生徒の母比率を０．５とするとき、全く
　　読書をしなかった生徒が３６人以下となる確率をＰ₅とおく。Ｐ₅の近似値を求めよ。
　　　また、全く読書をしなかった生徒の母比率を０．４とするとき、全く読書をしなかった生徒
　　が３６人以下となる確率をＰ₄とおく。Ｐ₄とＰ₅の大小を定めよ。

（解）　中心極限定理より、Ｘは正規分布Ｎ（５０，５）に従う。求める確率は、Ｐ₅＝Ｐ（Ｘ≦３６）

　　　標準化　Ｚ＝（Ｘ−５０）/５を行って、　Ｐ₅＝Ｐ（Ｚ≦−２．８）　を求めればよい。

　　　Ｐ₅＝０．５−０．４９７４＝０．００２６　となり、近似値は、０．００３に近い。

　母比率が０．４に下がると、３６人の全体における割合が逆に高まるので、明らかに、

　　Ｐ₄＞Ｐ₅　である。


（コメント）　問題ではＰ₅の近似値を答えることになっているが、これは、半整数補正を意識し
　　　　　　てのことだろう。半整数補正を行うと、求める確率は、Ｐ₅＝Ｐ（Ｘ＜３６．５）
　　　　　　標準化　Ｚ＝（Ｘ−５０）/５を行って、　Ｐ₅＝Ｐ（Ｚ＜−２．７）　を求めれば、
　　　　　　Ｐ₅＝０．５−０．４９６５＝０．００３６　となる。


（３）　母平均ｍに対する信頼度９５％の信頼区間を Ｃ₁≦ｍ≦Ｃ₂ とする。標本の大きさ１００
　　は十分大きいことと、１週間の読書時間の標本平均が２０４、母標準偏差が１５０であるこ
　　とを用いる。このとき、Ｃ₁＋Ｃ₂、Ｃ₂−Ｃ₁の値を求めよ。

　また、母平均ｍとＣ₁、Ｃ₂について、信頼区間の意味を考えれば、

　（Ｃ₁≦ｍもｍ≦Ｃ₂も成り立つとは限らない）

となる。

（解）　母平均ｍ、母標準偏差１５０なので、標本平均について、

　　　　　　　　　　Ｅ（）＝ｍ　、σ（）＝１５０/√１００＝１５

が成り立ち、標本平均は、標本の大きさが十分大きいので、正規分布Ｎ（ｍ，２２５）に従
うものと見なせる。

　このとき、信頼度９５％の信頼区間は、[２０４−１．９６×１５，２０４＋１．９６×１５]

すなわち、[１７４．６，２３３．４]　であるので、　Ｃ₁＝１７４．６、Ｃ₂＝２３３．４　より、

　Ｃ₁＋Ｃ₂＝４０８　、　Ｃ₂−Ｃ₁＝５８．８

（４）　上記の調査とは独立に同様の調査を行った。その調査における、全く読書をしなかっ
　　た生徒の数をｎとする。ｎと３６の大小関係は（　分からない　　）

（５）　独自調査による母平均ｍに対する信頼度９５％の信頼区間をＤ₁≦ｍ≦Ｄ₂とする。
　　このとき、正しいものはどれとどれか。

１．Ｃ₁＝Ｄ₁、Ｃ₂＝Ｄ₂が必ず成り立つ。
２．Ｃ₁＜Ｄ₂またはＤ₁＜C₂のどちらか一方のみが必ず成り立つ。
３．Ｄ₂＜Ｃ₁またはＣ₂＜Ｄ₁となる場合もある。
４．Ｃ₂−Ｃ₁＞Ｄ₂−Ｄ₁が必ず成り立つ。
５．Ｃ₂−Ｃ₁＝Ｄ₂−Ｄ₁が必ず成り立つ。
６．Ｃ₂−Ｃ₁＜Ｄ₂−Ｄ₁が必ず成り立つ。

（解）　信頼区間の意味を考えて、　３．と５．


第４問　　初項３、公差ｐの等差数列を｛ａ_ｎ｝とし、初項３、公比ｒの等比数列を｛ｂ_ｎ｝とする。
　　　　　ただし、ｐ≠０かつｒ≠０とする。さらに、これらの数列が次を満たすとする。

　ａ_ｎｂ_ｎ+1−２ａ_ｎ+1ｂ_ｎ＋３ｂ_ｎ+1＝０　（ｎ＝１、２、３、・・・）　・・・�@

（１）　ｐとｒの値を求め、ａ_ｎ、ｂ_ｎを定めよ。

（解）　�@の両辺をｂ_ｎで割って、　ｒ・ａ_ｎ−２ａ_ｎ+1＋３ｒ＝０　すなわち、　２ａ_ｎ+1＝ｒ（ａ_ｎ＋３）

ａ_ｎ＝３＋（ｎ−１）・ｐ　、ｂ_ｎ＝３・ｒ^ｎ-1　を代入して、　２（３＋ｎｐ））＝ｒ・（６＋（ｎ−１）・ｐ）　より、

　６＋２ｎｐ＝６ｒ＋ｒｎｐ−ｒｐ　すなわち、　（ｒ−２）ｎｐ＝ｒ（ｐ−６）＋６

　すべてのｎで成り立つことと、ｐ≠０　より、　ｒ＝２　を得る。さらに、２（ｐ−６）＋６＝０　から、

ｐ＝３　を得る。


（コメント）　誘導に従わず、次のように解いてもよい。

ｎ＝１　のとき、�@は、　ａ₁ｂ₂−２ａ₂ｂ₁＋３ｂ₂＝０ なので、　３・３ｒ−２・３（３＋ｐ）＋３・３ｒ＝０

　　　すなわち、　３ｒ＝３＋ｐ

　ｎ＝２　のとき、�@は、　ａ₂ｂ₃−２ａ₃ｂ₂＋３ｂ₃＝０ なので、

　（３＋ｐ）・３ｒ²−２（３＋２ｐ）・３ｒ＋３・３ｒ²＝０　すなわち、　ｒｐ＋６ｒ−６−４ｐ＝０

　ｐ＝３ｒ−３　を代入して、　３ｒ²−３ｒ＋６ｒ−６−１２ｒ＋１２＝０　より、　３ｒ²−９ｒ＋６＝０

　３（ｒ−１）（ｒ−２）＝０　から、　ｒ＝１、２

　ｒ＝１　のとき、　ｐ＝０　となり不適

　ｒ＝２　のとき、　ｐ＝３　となり、　ａ_ｎ＝３＋（ｎ−１）・３＝３ｎ　、ｂ_ｎ＝３・２^ｎ-1


（２）　｛ａ_ｎ｝、｛ｂ_ｎ｝の初項から第ｎ項までの和を、それぞれ求めよ。

（解）　Σａ_ｋ＝Σ（３ｋ）＝３ｎ（ｎ＋１）/２　、Σｂ_ｋ＝Σ３・２^ｋ-1＝３（２^ｎ−１）


（３）　数列｛ａ_ｎ｝に対して、初項３の数列｛ｃ_ｎ｝が次を満たすとする。

　　　ａ_ｎｃ_ｎ+1−４ａ_ｎ+1ｃ_ｎ＋３ｃ_ｎ+1＝０　（ｎ＝１、２、３、・・・）　・・・�A

　　ａ_ｎが正であることから、�Aを変形して、　（ａ_ｎ＋３）ｃ_ｎ+1＝４ａ_ｎ+1ｃ_ｎ　より、

　　　　ｃ_ｎ+1＝（４ａ_ｎ+1/（ａ_ｎ＋３））ｃ_ｎ

　ここで、　ａ_ｎ+1＝ａ_ｎ＋３　から、　ｃ_ｎ+1＝４ｃ_ｎ　となり、数列｛ｃ_ｎ｝は、公比４の等比数列
となる。

（４）　ｑ、ｕは定数で、ｑ≠０とする。数列｛ｂ_ｎ｝に対して、初項３の数列｛ｄ_ｎ｝が次を満たすと
　　する。

　　　ｄ_ｎｂ_ｎ+1−ｑｄ_ｎ+1ｂ_ｎ＋ｕｂ_ｎ+1＝０　（ｎ＝１、２、３、・・・）　・・・�B

　ｒ＝２　であることから、　２ｄ_ｎ−ｑｄ_ｎ+1＋２ｕ＝０　より、　ｄ_ｎ+1＝（２/ｑ）（ｄ_ｎ＋ｕ）

　したがって、数列｛ｄ_ｎ｝が、公比が０より大きく１より小さい等比数列となるための必要十分
条件は、
　　　　　　ｑ＞２　かつ　ｕ＝０