(a-b)/(c-1) + (b-c)/(a-1) + (c-a)/(b-1)
何だかとっても意味ありげな結果になるんですが、どうしてこんなことが起こるんでしょうね？
らすかるさんからのコメントです。（令和３年１月１１日付け）
理由になっているかどうか（また、主旨をはき違えているかどうか）わかりませんが、
xy(x-y) + yz(y-z) + zx(z-x) = -(x-y)(y-z)(z-x) が成り立つから
ではないでしょうか。この式の両辺を xyz で割ると、
(x-y)/z + (y-z)/x + (z-x)/y = -(x-y)(y-z)(z-x)/(xyz)
提示された式は、x = a-1、y = b-1、z = c-1 としたものですね。
DD++さんからのコメントです。（令和３年１月１１日付け）
式の変形的にはそうなんですが、（あるいは、分子が3変数3次の交替式であることを考え
ればもっと自明とも言えますが）、3つの分数の和と積がちょうど符号を変えただけの数にな
るという性質がこんなにもあっさり成立するのであれば、そこには何か簡素な数学的背景が
ある（例えば、この分数を何かの長さと思うと説明できるとか、何かの確率を表すと考えれば
納得がいくとか）のではないかな、と思ったのです。
なお、仰るように「-1」のところは文字の置き換えにより、任意の「-k」（あるいは 0 でもよい）
で成り立ちます。
また、k=a+b+c とすれば、
(a-b)/(a+b) + (b-c)/(b+c) + (c-a)/(c+a)=-｛(a-b)/(a+b)｝・｛(b-c)/(b+c)｝・｛(c-a)/(c+a)｝
でも同じ性質が成り立つんですね。こっちの方が意味を捉えやすいかも？
