２人が交互に１以上５以下の自然数を言うゲームを行う。ただし、一度言われた数は言え
ないものとする。言える数がなくなった時点でゲームは終了とする。

　このとき、先手が言った数の和が３の倍数のとき、先手の勝ちとし、そうでないとき、後手
の勝ちとする。

　このゲームは先手必勝なのだが、先手はどのように数字を言えばよいだろうか。

（解）　１、４・・・３で割って１余る数　　２、５・・・３で割って２余る数　　３・・・３の倍数

　よって、先手が勝つのは、数の和が３の倍数になるときなので、

　　先手の初手：　３　で確定

　　後手は、１、２、４、５　から一つの数字を言う。

　　先手は、後手が言った数字と同じ組になっている数字を言えばよい。

　　これを繰り返せばよい。

　このとき、先手の言った数の和は必ず３の倍数となる。　　（終）


　上記のゲームを次のように一般化する。

　２人が交互に１以上ｎ以下の自然数を言うゲームを行う。ただし、一度言われた数は言え
ないものとする。言える数がなくなった時点でゲームは終了とする。

　このとき、先手が言った数の和が３の倍数のとき、先手の勝ちとし、そうでないとき、後手
の勝ちとする。

　このゲームが先手必勝となるためには、ｎの値にどんな条件が必要だろうか？

（解）　明らかに、ｎ＝１、２、３　のときは、後手必勝である。

　例えば、ｎ＝３のとき、　先手が１と言い、後手が３と言ってくれれば、先手は２と言えて勝ち
になるが、後手は３とは言ってくれないから、先手の負けである。

　ｎ＝４　のとき、先手が２と言えば、後手がどんな数を言おうとも、３で割って１余る数が１個
以上残っているので、それを言えば先手の勝ちとなる。

　ｎ＝５　のときが冒頭の場合で、先手必勝である。

　ｎ＝６　のとき、３で割った余りが０、１、２となる数が２つずつの組が出来るので、先手は３
と言い、次に、後手が言った数と同じ組に属する数を言えばよい。ただし、後手が６と言った
場合は、先手は、１、２、４、５の何れかを言えば、和が必ず３の倍数になるように言うことが
出来るので先手必勝である。

　ｎ＝ｋ　のとき、先手必勝とすると、ｎ＝ｋ＋６　でも先手必勝である。

　１以上ｋ＋６以下の自然数を２つのグループに分ける。

　Ｍ＝｛１，２，・・・，ｋ｝

　Ｎ＝｛ｋ＋１，ｋ＋２，・・・，ｋ＋６｝　・・・　３で割った余りが０、１、２となる数が２つずつある

　先手は、Ｍから先手必勝となる数を言う。

　後手が、Ｍに属する数を言えば、先手はＭ内の数で対応する。

　後手が、Ｎに属する数を言えば、先手は、Ｎ内の数で、後手が言った数と同じ組に属する
数を言えばよい。

　以上で、先手必勝となる。

　よって、先手必勝となるｎの値は、ｎ＝４、５、６、１０、１１、１２、・・・　すなわち、

　　ｎ≡０、４、５　（ｍｏｄ　６）

である。　　（終）


（参考）　第１７回日本数学オリンピック本選問題（２００７）