解ける方いらっしゃいますか？
ＧＡＩさんからのコメントです。（令和２年１２月２日付け）
タイプの都合上、sqrt(x)=√x の記法で表すと、
sqrt(x^2+y^2)=y*sqrt(1+(x/y)^2)=y*sqrt(1+t) （但し、t=(x/y)^2とする。）
ここで、二項定理の拡張から、
sqrt(1+t)=(1+t)^(1/2) =∑[k=0,∞]binomial(1/2,k)*t^k
今、 binomial(1/2,0)=1 、binomial(1/2,1)=1/2 、
binomial(1/2,2)=1/2*(1/2-1)/2!=-1/8
binomial(1/2,3)=1/2*(1/2-1)*(1/2-2)/3!=1/16
binomial(1/2,4)=1/2*(1/2-1)*(1/2-2)*(1/2-3)/4!=-5/128
以下同様に、
binomial(1/2,5)=7/256
binomial(1/2,6)=-21/1024
binomial(1/2,7)=33/2048
binomial(1/2,8)=-429/32768
binomial(1/2,9)=715/65536
･････････
なので、
sqrt(x^2+y^2)
=y*(1+1/2*t-1/8*t^2+1/16*t^3-5/128*t^4+7/256*t^5-21/1024*t^6
+33/2048*t^7-429/32768*t^8+715/65536*t^9-･････)
ここで、t=(x/y)^2 を、これに代入して整理すれば、上式は、
= y + 1/(2*y)*x^2 - 1/(8*y^3)*x^4 + 1/(16*y^5)*x^6 - 5/(128*y^7)*x^8
+ 7/(256*y^9)*x^10 - 21/(1024*y^11)*x^12 + 33/(2048*y^13)*x^14
- 429/(32768*y^15)*x^16 + 715/(65536*y^17)*x^18 -･･･
よって、点(3,4)を中心としたテイラー展開式は、上式で、x->x-3、y->y-4 と置きなおした式で
表せばよい。
（コメント） 教養学部時代に学んだ微積分を思い出しながら解いてみました。
Ｆ（ｘ，ｙ）＝√(x^2+y^2) とおく。(3,4)のまわりのテイラー展開なので、
Ｆ（ｘ，ｙ）＝Σ（ｈδ/δｘ＋ｋδ/δｙ）ｋＦ（3，4）/ｋ！ ただし、ｈ＝ｘ-3、ｋ＝ｙ-4
Ｆ（3，4）＝√(3^2+4^2)＝5
Ｆｘ（ｘ，ｙ）＝ｘ/√(x^2+y^2)、Ｆｙ（ｘ，ｙ）＝ｙ/√(x^2+y^2) より、
Ｆｘ（3，4）＝3/5 、 Ｆｙ（3，4）＝4/5
Ｆｘｘ（ｘ，ｙ）＝ｙ^2/｛(x^2+y^2)√(x^2+y^2)｝、Ｆｘｙ（ｘ，ｙ）＝-ｘｙ/｛(x^2+y^2)√(x^2+y^2)｝
Ｆｙｙ（ｘ，ｙ）＝ｘ^2/｛(x^2+y^2)√(x^2+y^2)｝ より、
Ｆｘｘ（3，4）＝16/125 、Ｆｘｙ（3，4）＝－12/125 、Ｆｙｙ（3，4）＝9/125
従って、２次の項までテイラー展開してみると、
Ｆ（ｘ，ｙ）
＝Ｆ（3，4）＋（ｈＦｘ（3，4）＋ｋＦｙ（3，4））＋（ｈ^2Ｆｘx（3，4）＋2ｈｋＦｘｙ（3，4）＋ｋ^2Ｆｙｙ（3，4））/2＋・・・
＝5＋（3ｈ＋4ｋ）/5＋（16ｈ^2－24ｈｋ＋9ｋ^2）/250＋・・・
となる。
＃ＧＡＩさんのテイラー展開は、ｘ＝０の周りのテイラー展開かな？
ＧＡＩさんからのコメントです。（令和２年１２月３日付け）
上記コメントを拝見して、大変勘違いしていたことをお詫びします。ちなみに3次までの近似
式を構成してみました。
F(x,y)=5+1/5*(3*h+4*k)+1/250*(16*h^2-24*h*k+9*k^2)
+1/18750*(-144*h^3+24*h^2*k+207*h*k^2-108*h^3)
(但しh=x-3,k=y-4)
そこで、これを上の式に代入して整理すれば、下のF(x,y)が構成されます。
gp > F(x,y)=-24/3125*x^3 + (4/3125*y + 16/125)*x^2 + (69/6250*y^2 - 24/125*y + 3/5)*x +
(-18/3125*y^3 + 9/125*y^2 + 4/5*y)
gp > G(x,y)=sqrt(x^2+y^2)
そこで、元の関数と点(3,4)回りの比較をやってみるとかなりの精度で近似されていることが
見てとれます。
gp > for(n=1,5,x=3+1/10^n;y=4+1/10^n;print(n";"F(x,y)+0." VS "G(x,y)))
1;5.140038880000000000000000000 VS 5.140038910358558754555365381
2;5.014000398880000000000000000 VS 5.014000398883111377369710601
3;5.001400003998880000000000000 VS 5.001400003998880311913559828
4;5.000140000039998880000000000 VS 5.000140000039998880031199135
5;5.000014000000399998880000000 VS 5.000014000000399998880003120
gp > for(n=1,5,x=3-1/10^n;y=4-1/10^n;print(n";"F(x,y)+0." VS "G(x,y)))
1;4.860041120000000000000000000 VS 4.860041152089146662434685993
2;4.986000401120000000000000000 VS 4.986000401123128670300405711
3;4.998600004001120000000000000 VS 4.998600004001120312086487841
4;4.999860000040001120000000000 VS 4.999860000040001120031200865
5;4.999986000000400001120000000 VS 4.999986000000400001120003120
（追記） 「大学課題」と題して、ＨＮ「みみ」さんから同様の問題をいただきました。
（令和２年１２月３日付け）
f(x,y)=e ^ x－y について、次の問いに答えよ.
(1) fx(x, y)、fy(x, y)、fxx(x, y)、fxy(x, y)、fyy(x, y) を求めよ。
(2) fx(1, 0)、fy(1, 0)、fxx(1, 0)、fxy(1, 0)、fyy(1, 0) を求めよ。
(3) f (x, y) =e ^ x－y を (x, y) = (1, 0) のまわりで 2 次の項までテイラー展開せよ。
大学の課題で、この問題がわかりません。どなたかお願いします
（解） ここら辺の計算は形式的な計算なので、慣れが必要でしょう。
(1) fx(x, y)=e ^ x、fy(x, y)=－1、fxx(x, y)=e ^ x、fxy(x, y)=0、fyy(x, y)=0
(2) fx(1, 0)=e、fy(1, 0)=－1、fxx(1, 0)=e、fxy(1, 0)=0、fyy(1, 0)=0
(3) f(1, 0)=e なので、 ｈ＝ｘ－１、ｋ＝ｙ として、
f(ｈ,ｋ)=ｅ＋（ｈｅ＋ｋ(-1)）＋（ｈ^2・ｅ＋2ｈｋ・0＋ｋ^2・0）/2
=(ｈ＋1）ｅ - ｋ＋ｈ^2・ｅ/２
（コメント） f(x,y)=e ^ x－y という式に「f(x,y)=e ^(x－y) かも？」という違和感を感じつつ解き
ました。大学の微積分の講義スケジュールからすると、この時期は積分をやって
いると思うのですが、コロナ禍の影響で進度が遅れているのでしょうか？
