・微分方程式                            カイト氏

 大学の微積分学の内容についてです。私は現在ストリーター・フェルプスの溶存酸素量の
式の微分方程式を解いているのですが、その中で、

  ∫e^(−k1t) ×e^(k2t) dt (k1とk2は係数)

という計算が出てきました。そこで質問なのですが、まずこの積分は解くことが可能でしょうか。

 部分積分の公式に当てはめると、eが消去できず永遠と計算が続いてしまいます。

 もし、解くことができない場合、私が途中の計算を間違えていることになります。その場合、
解答者の方々にストリーター・フェルプスの式の導出を微分方程式を用いて計算できる方が
いらっしゃいましたら教えていただきたいと思っております。よろしくお願いいたします。

dD/dt =k1L-k2D     L=L0×e^(-k1t)

dD/dt +k2D=k1×L0×e^(-k1t)・・・@

この@を1回線形微分方程式として解くと、最終的には、

 D=k1×L0/(k2-k1)×(e^(-k1t)−e^(-k2t))+D0×e^(-k2t)・・・A となります。
(D0はここでの最終的な積分定数)

 @からAの過程で、私が計算した際に上記に記した∫e^(-k1t)×e^(-k2t) dt の計算が出
てきました。


 らすかるさんからのコメントです。(令和2年11月7日付け)

 {e^(ax)}'=ae^(ax) と e^(a+b)=e^a・e^b から、

∫e^(-k1t)×e^(k2t) dt =∫e^(-k1t+k2t) dt =∫e^((k2-k1)t) dt = e^((k2-k1)t)/(k2-k1)+C

となると思うのですが、もし私が何か勘違いしているようでしたらご容赦下さい。


 カイトさんからのコメントです。(令和2年11月7日付け)

 ご回答いただきありがとうございます。やはりそのようになりますよね。私がどこかの計算
過程で間違っているのでしょう。

dD/dt =k1L-k2D     L=L0×e^(-k1t)

dD/dt +k2D=k1×L0×e^(-k1t)・・・@   @を解いていただくことは可能でしょうか。

この@を1回線形微分方程式として解くと最終的には、

 D=k1×L0/(k2-k1)×(e^(-k1t)−e^(-k2t))+D0×e^(-k2t)・・・A となります。
(D0はここでの最終的な積分定数)

 私が計算すると最終的な答えは、 D=k1×L0/(k2-k1)×(e^(-k1t))+D0×e^(-k2t)とな
り、(e^(-k1t)-e^(-k2t))がe^(-k1t)になってしまいます。


 らすかるさんからのコメントです。(令和2年11月7日付け)

 e^(-k2t)の項をまとめて、D0-k1×L0/(k2-k1) を新しくD1という積分定数にすれば同じこと
です。


(コメント) らすかるさんのように置き換えなくても、微分方程式を解けば、カイトさんの答に
      なりますが...。

 実際に、 dD/dt +k2D=k1×L0×e^(-k1t) から、

 D=e^∫(-k2)dt(∫k1L0e^(-k1t)∫(k2)dt+C)dt

  =e^(-k2t)(k1L0∫e^(k2-k1t)dt+C)

  =e^(-k2t)(k1L0/(k2-k1)×e^(k2-k1)t+D0)

  =k1L0/(k2-k1)×(e^(-k1t))+D0×e^(-k2t)


 カイトさんからのコメントです。(令和2年11月8日付け)

 ご回答いただきありがとうございます。確かにそのようにまとめれば私が算出した答えが
元の形になるのは理解できたのですが、ストレートでこの微分方程式を解いた場合もとの
 D=k1L0/(k2-k1)×(e^(-k1t)−e^(-k2t))+D0×e^(-k1t)の形で答えを導くことができる
でしょうか。

 またできない場合、D0-k1×L0/(k2-k1) を新しくD1という積分定数を設定するということは
文字を置くような感覚との認識でよいのでしょうか。


 らすかるさんからのコメントです。(令和2年11月8日付け)

 その式を元の微分方程式に代入すると成り立ちませんので、その形にはならないと思い
ます。

 また、「文字を置くような感覚」がどういう感覚なのかわかりませんが、例えば、
「(ある定数)+(任意定数)」は「(任意定数)」に置き換えられますし、その方が綺麗ですよね。
ですから、任意定数と合算できる定数はすべて任意定数に含めるべきです。



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