式の微分方程式を解いているのですが、その中で、
∫e＾(－k1t) ×e＾(k2t) dt (k1とk2は係数)
という計算が出てきました。そこで質問なのですが、まずこの積分は解くことが可能でしょうか。
部分積分の公式に当てはめると、eが消去できず永遠と計算が続いてしまいます。
もし、解くことができない場合、私が途中の計算を間違えていることになります。その場合、
解答者の方々にストリーター・フェルプスの式の導出を微分方程式を用いて計算できる方が
いらっしゃいましたら教えていただきたいと思っております。よろしくお願いいたします。
dD/dt ＝k1L-k2D L＝L0×e＾(-k1t)
dD/dt ＋k2D＝k1×L0×e＾(-k1t)・・・①
この①を1回線形微分方程式として解くと、最終的には、
D＝k1×L0／（k2-k1）×(e＾(-k1t)－e＾(-k2t))＋D0×e＾(-k2t)・・・② となります。
(D0はここでの最終的な積分定数)
①から②の過程で、私が計算した際に上記に記した∫e＾(-k1t)×e＾(-k2t) dt の計算が出
てきました。
らすかるさんからのコメントです。（令和２年１１月７日付け）
{e^(ax)}'=ae^(ax) と e^(a+b)=e^a・e^b から、
∫e^(-k1t)×e^(k2t) dt =∫e^(-k1t+k2t) dt =∫e^((k2-k1)t) dt = e^((k2-k1)t)/(k2-k1)+C
となると思うのですが、もし私が何か勘違いしているようでしたらご容赦下さい。
カイトさんからのコメントです。（令和２年１１月７日付け）
ご回答いただきありがとうございます。やはりそのようになりますよね。私がどこかの計算
過程で間違っているのでしょう。
dD/dt ＝k1L-k2D L＝L0×e＾(-k1t)
dD/dt ＋k2D＝k1×L0×e＾(-k1t)・・・① ①を解いていただくことは可能でしょうか。
この①を1回線形微分方程式として解くと最終的には、
D＝k1×L0／（k2-k1）×(e＾(-k1t)－e＾(-k2t))＋D0×e＾(-k2t)・・・② となります。
(D0はここでの最終的な積分定数)
私が計算すると最終的な答えは、 D＝k1×L0／（k2-k1）×(e＾(-k1t))＋D0×e＾(-k2t)とな
り、(e＾(-k1t)-e＾(-k2t))がe＾(-k1t)になってしまいます。
らすかるさんからのコメントです。（令和２年１１月７日付け）
e^(-k2t)の項をまとめて、D0-k1×L0/(k2-k1) を新しくD1という積分定数にすれば同じこと
です。
（コメント） らすかるさんのように置き換えなくても、微分方程式を解けば、カイトさんの答に
なりますが．．．。
実際に、 dD/dt ＋k2D＝k1×L0×e＾(-k1t) から、
Ｄ＝e^∫(-k2)ｄｔ（∫k1L0e＾(-k1t)∫(k2)ｄｔ＋Ｃ）ｄｔ
＝e^(-k2ｔ)（k1L0∫e＾(k2-k1t)ｄｔ＋Ｃ）
＝e^(-k2ｔ)（k1L0／(k2-k1)×e＾(k2-k1）t＋D0）
＝k1L0／（k2-k1）×(e＾(-k1t))＋D0×e＾(-k2t)
カイトさんからのコメントです。（令和２年１１月８日付け）
ご回答いただきありがとうございます。確かにそのようにまとめれば私が算出した答えが
元の形になるのは理解できたのですが、ストレートでこの微分方程式を解いた場合もとの
D＝k1L0／（k2-k1）×(e＾(-k1t)－e＾(-k2t))＋D0×e＾(-k1t)の形で答えを導くことができる
でしょうか。
またできない場合、D0-k1×L0/(k2-k1) を新しくD1という積分定数を設定するということは
文字を置くような感覚との認識でよいのでしょうか。
らすかるさんからのコメントです。（令和２年１１月８日付け）
その式を元の微分方程式に代入すると成り立ちませんので、その形にはならないと思い
ます。
また、「文字を置くような感覚」がどういう感覚なのかわかりませんが、例えば、
「(ある定数)+(任意定数)」は「(任意定数)」に置き換えられますし、その方が綺麗ですよね。
ですから、任意定数と合算できる定数はすべて任意定数に含めるべきです。
