例 2/3=0+1/(1+1/2) より、2/3=[0,1,2]
43/30=1+1/(2+1/(3+1/4) より、43/30=[1,2,3,4]
さて、有理数は有限個の数字で連分数表示できる。
そこで、今、２つの素数p、qに対し、q/pを連分数表示をすることにする。
すると、pの数字を反転したものがqとなり、q/pの連分数表示で使われる数字が元の素数p
（もしくはq)で使用していた数字のみで構成された。
さて、このpはなんでしょう？
何個かあれば見つけてほしい。
らすかるさんからのコメントです。（令和２年１０月１２日付け）
では、連分数表示を計算しなくて済むように、10個。
10124389567 、10124563789 、10124597683 、10124635897 、10124673859
10124687359 、10124695783 、10124735689 、10124795683 、10124867359
（参考） 「A050288」
ＧＡＩさんからのコメントです。（令和２年１０月１２日付け）
例えば、p=10124389567 は確かに素数で、その逆順数の q=76598342101 も素数となる
が、q/pの連分数は
gp > contfrac(76598342101/10124389567)
%352 = [7, 1, 1, 3, 3, 3, 2, 2, 1, 3, 3, 1, 4, 7, 1, 21, 3, 1, 4, 21, 3]
従って、pで使われている 0,8,9,5,6 が現れませんが？
らすかるさんからのコメントです。（令和２年１０月１２日付け）
「q/pの連分数表示で使われる数字が元の素数p（もしくはq)で使用していた数字のみで構
成され」ていますので、問題文に書かれている条件は満たしていると思います。元の素数p
で使用していない数字は含まれていませんよね。
（例えば、「奇数の数字(1,3,5,7,9)のみで構成されている素数」と言ったら、131とか157も該当
しますよね？）
もし、「連分数表示で使われる数字の集合が元の素数で使われている数字の集合と一致
しなければならない」という条件でしたら、
11 、1111111111111111111 、11111111111111111111111
という回答に変更します。
ＧＡＩさんからのコメントです。（令和２年１０月１２日付け）
この意味で出題したのですが（元の素数の数字は全て出現するものに絞る。）、なるほど、
これらの特殊な素数は立派にその条件を満たすことになりますね。こちらの意図を見事に
外されてしまいました。
なお、遊びで素数での分数を連分数にしていて眺めていたら、
3221/1223=[2,1,1,1,2,1,2,2,1,3,3]
となり、正に、p=1223,q=3221はどちらも素数で、連分数表示はこれに使われている数字をも
れなく含んでいて、とても珍しく感じたので、他にそんなものは存在できないのだろうか？と
思ったのが動機でした。
自分なりに探していたら（流れる画面とにらめっこなので見落としているかもしれないが）
今のところあと２タイプ探し出しました。
素数が大きくなっていくと、更に条件を満たすものは益々難しくなっていく感じです。もし、こ
の条件に合う通常な素数がありましたらお知らせ下さい。
らすかるさんからのコメントです。（令和２年１０月１２日付け）
素数が大きくなっていくと、更に条件を満たすものは益々難しくなっていく感じです。
多分、素数が巨大になれば、q＜pとなるものはすべて条件を満たすようになりますよね。
（0〜9をすべて含むようになるので）
もし、この条件に合う通常な素数がありましたらお知らせ下さい。
適当に探したところ、条件を満たすものは、
11, 1223, 11243, 37201, 109211, 112901, 126443,152563, 170243, 326143, 342071, …
のようになりました。このうち連分数表記の値がすべて一桁であるものは、
11, 1223, 37201, 152563
です。
ＧＡＩさんからのコメントです。（令和２年１０月１３日付け）
これをやっとの思いで探せて、その先をと思い素数を中途半端に大きくしていたので、なか
なか見つからず、
素数が大きくなっていくと、更に条件を満たすものは益々難しくなっていく感じです。
なる感想を抱いたんですが、
多分、素数が巨大になればq＜pとなるものはすべて条件を満たすようになりますよね。
（0〜9をすべて含むようになるので）
のご指摘からなるほどと思い直しました。
（素数は無限個あるんですものね。探している世界があまりにも狭すぎた！）
指摘されたhttps://oeis.org/A050288での10000個の素数で改めてチェックすれば、
10138624579=>[0, 9, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 5, 2, 2, 9, 1, 1, 1, 8, 3, 7, 1, 4, 6, 1, 1, 3, 2, 3]
10142386759=>[0, 9, 2, 3, 1, 5, 4, 1, 1, 2, 3, 2, 1, 1, 1, 3, 8, 1, 7, 1, 4, 4, 3, 6, 2]
10153486729=>[0, 9, 7, 3, 8, 8, 1, 5, 1, 1, 6, 1, 5, 1, 1, 2, 3, 4, 7, 1, 1, 1, 5]
10184962357=>[0, 7, 2, 1, 1, 9, 6, 1, 1, 4, 5, 5, 3, 1, 3, 2, 8, 3, 3, 2, 3, 5]
10219845367=>[0, 7, 2, 8, 5, 4, 1, 2, 2, 3, 7, 1, 6, 1, 3, 7, 1, 1, 1, 1, 2, 9, 4]
10238586947=>[0, 7, 3, 9, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 6, 1, 5, 1, 2, 8, 1, 2, 7, 7, 1, 1, 2, 4]
10243856879=>[0, 9, 1, 1, 4, 6, 7, 1, 2, 3, 1, 1, 4, 8, 1, 3, 5, 1, 5, 2, 4, 1, 2, 1, 3]
10245698237=>[0, 7, 6, 1, 1, 8, 1, 3, 1, 9, 2, 6, 1, 1, 1, 2, 5, 3, 1, 4, 1, 1, 6, 4, 2]
10246387259=>[0, 9, 3, 2, 1, 7, 6, 3, 1, 1, 2, 7, 8, 2, 1, 1, 3, 2, 5, 4, 1, 1, 1, 5]
10247826539=>[0, 9, 7, 1, 2, 4, 4, 2, 8, 1, 3, 7, 2, 3, 2, 3, 2, 6, 1, 1, 1, 2, 5]
10252689347=>[0, 7, 3, 1, 8, 1, 6, 1, 1, 4, 2, 6, 1, 1, 3, 5, 1, 1, 5, 1, 3, 1, 1, 4, 1, 9]
10253169847=>[0, 7, 3, 3, 1, 1, 5, 9, 4, 8, 2, 7, 1, 8, 1, 8, 1, 2, 2, 3, 6]
10256547893=>[0, 3, 1, 7, 1, 9, 1, 1, 1, 8, 2, 1, 1, 1, 3, 2, 2, 3, 6, 1, 3, 1, 4, 5, 8]
10259436487=>[0, 7, 1, 1, 1, 5, 3, 1, 3, 2, 8, 6, 4, 1, 9, 5, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 8]
10262395487=>[0, 7, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 5, 1, 8, 2, 9, 2, 3, 4, 3, 2, 6, 2, 4, 1, 2, 2, 2]
10263557489=>[0, 9, 1, 1, 2, 7, 8, 1, 1, 4, 3, 2, 3, 1, 2, 2, 1, 1, 3, 5, 5, 6, 1, 2, 3]
10267543289=>[0, 9, 1, 1, 3, 4, 1, 8, 7, 5, 1, 4, 1, 1, 8, 1, 1, 1, 4, 2, 1, 1, 6, 1, 5, 2]
が一桁の数字で構成されました。ただし、この中で分母に相当する逆順の数(95278364201)
が素数の条件を満たすものは、10246387259 だけでした。
即ち、10246387259/95278364201は分子、分母共に素数でその数字の並びは全く逆、ま
たその連分数表示は
=[0, 9, 3, 2, 1, 7, 6, 3, 1, 1, 2, 7, 8, 2, 1, 1, 3, 2, 5, 4, 1, 1, 1, 5]
と0〜9の数字が全て一桁の姿で出現する。
私的感想ですが、もう無いだろうと探しながら152563がヒットした時は妙にうれしかったです。
昔大海原に船を漕ぎだした古代人が、何日も航海した後で遠くに島影を見たときに感じたで
あろう感覚を共有した思いでした。
なお、この話題とはちょっとズレますが、98473/37489の素数での分数の連分数表示が循
環小数を思わせる、[2,1,1,1,2,8,1,2,1,1,1,2,8,2] になってしまうことも興味を引きました。
らすかるさんからのコメントです。（令和２年１０月１３日付け）
11, 1223, 37201, 152563の続きを1億まで調べました。
11, 1223, 37201, 152563, 1273681, 1324871, 3052421, 3215081,
3487129, 3912061, 7203913, 11132413, 11835289, 12435767,
12526537, 12714253, 12824453, 12979433, 13454923, 13462201,
13910621, 13933123, 14166233, 14285837, 14526779, 15419293,
15623347, 17345129, 17663213, 18277643, 18528143, 19257437,
19549273, 19884223, 30944621, 31449527, 32061431, 32194853,
32237041, 32412001, 32412587, 32812547, 33425317, 34211183,
34250191, 34276169, 34321583, 34561279, 35742167, 35800231,
36610271, 38524501, 39392159, 70355821, 71204333, 72735041,
73234013, 75411023, 78052301, 91000423, 93063241, 94261303,
97620431
桁が多くなるとどんどん増える感じですね。
連分数の応用と題して、ＧＡＩさんからのご投稿です。（令和２年１０月１６日付け）
円積問題という半径1の円の面積と同じ面積を有する正方形をコンパスと定規だけ
で作図せよ。
書物によると、これに人類は2000年以上挑戦し続け、ついに1882年ドイツの数学者の
フェルディナント・フォン・リンデマンが円周率πが超越数であることを示し、この問題を作図
不可能という証明を成し遂げたとある。
証明となる内容はよく理解できないが、そうなんだ、出来ないのか！とそれ以上深く考えよ
うともせず本日まで過ごしてきたように思う。
これに対し、かのインドの天才ラマヌジャンが1910年インドの数学会の論文集にこのリン
デマンの定理が取り上げられているのを見て刺激を受け、次のことを考え付いたとある。
π^4を連分数表示にすると、
gp > contfrac(Pi^4)
%130 = [97, 2, 2, 3, 1, 16539, 1, 6, 7, 6, 8, 6, 3, 9, 1, 1, 1,･････]
と途中に大きい数字（16539)が出現する。連分数の性質上この大きくなる手前で打ち切れば、
とてもよい近似分数が作れる。
[97, 2, 2, 3, 1](=[97, 2, 2, 4]) を分数にすれば、 97+1/(2+1/(2+1/4))=97+9/22=2143/22
で、π^4≒2143/22 より、√π≒(2143/22)^(1/8) （求める正方形の一辺の長さに相当）
これを計算機で確認すると、
gp > sqrt(Pi)
%133 = 1.7724538509055160272981674833411451828
gp > sqrtn(2143/22,8)
%132 = 1.7724538506214050720756122694090809451
何と小数点以下9位まで一致してくる。
後は、97+9/22 を考えると、円の半径を1に対応させれば、その97倍は作図可能。
直線上Oから22の距離にA、反対側に9の距離をBとし、この直線にOで垂直になるよう垂
線を引き、Oから1の距離にCをとる。AとCを通る直線L1を引く。
L1に平行でBを通る直線L2を引く。
これと先のOを通っている垂線との交点をDとすれば、２つの直角三角形△OAC∽△OBD
でその大きさの比が22:9であることから、OD=9/22 が作図可能となる。
従って、2を合わすことで、97+9/22=2143/22 は作図可能。
更に、一般に、
aの長さに対し、直径がa+1である円を構成することにより、√aも作図可能となる。
（aと1のつなぎ目(G)で垂線を立て、円との交点をPとすればGP=√aを与える。）
それで、この作業をa=2143/22に対して三度繰り返し行えば、(2143/22)^(1/8)は作図可能
となる。
この作図でできた一辺を用いて正方形を描けばよい。
ところで、数学にどっぷりつかっている人は、
「これはあくまでも近似であり、正確に作図されたわけではないだろう！」
と声高に言われるでしょう。
しかし、正５角形は作図可能と証明も含めよく理解はできるが、いざその方法で定規とコン
パスで描こうと実施するも、ピタリ５回で元の位置にコンパスの線が書けているかは甚だ怪
しいもんである。
数学で言う厳密とは、甚だしく厳密を指し、またこれがたまらなくいいのだと感じる人もいる
とは思うが、どうも私はこの辺が肌身に合わない。ラマヌジャンのように、限りなく近づけれる
方法を編み出す方にひかれてしまう。
作図せよの要求に、この近似が達成できれば作図されるにしてほしいものだ。
DD++さんからのコメントです。（令和２年１０月１７日付け）
作図せよの要求に、この近似が達成できれば作図されるにしてほしいものだ。
一辺 (2143/22)^(1/8) の正方形を作図して円積問題の解と認めるべきだと言うなら、では、
一辺 (22/7)^(1/2) の正方形を作図したものも認められるべきでしょうか？あるいは、一辺
3^(1/2) の正方形ではどうでしょう？さらには、一辺 2 の正方形では？
（円周率を二進法で書いて一の位を丸めると考えれば、π≒100(2)=4(10) は確かに近似値
です）
ＧＡＩさんからのコメントです。（令和２年１０月１８日付け）
私が言いたいのはこんな事ではなく、所詮人間が見ている世界は近似の世界であり、ロケッ
トが月まで飛んでそこに人を下すのも、ある想定誤差を含む論理の中で可能性を導けるので
実施を試みているし、原子力の力を制御できると思っているから原子炉を設計建設している。
それが想定外なら想定外の事象がおきてしまう。
このパズルが人間から見た場合どれほどの意味を持つのか分かりませんが、私から見た
感想では、定規、コンパスの道具が正に理想的性能を有する（コンパスの針は大きさを持た
ぬ、定規はちょっとでも歪んではいない、などの条件を満たすこと）ものであれば（現実的で
はない）ある程度理解します。
しかし、作図（これはイデアの世界でやることを前提にされているが）は現実的には鉛筆の
芯にも大きさはあるし、点を打っても幅は生じるという正に誤差がつけいる要素が山ほど含
まれている作業を強いているのだから、ラマヌジャンが示した精度を出せば十分（人間世界
からみて）であろうと思ったわけです。
(22/7)^(1/2)の一辺で正方形を作れば人間の眼の精度での判断ではπの面積とは言わ
ないでしょう。しかし誰も神の眼を持っている訳でないので、ある程度の所で妥協して、ほと
んど同じだね、とかいっしょじゃない、で済ましているんではないでしょうか？
天気予報なんて妥協の産物で、晴れるらしい、台風の進路はこんな大きな円のどこかを
通るらしい等々、このパズルもそう目くじらを立てることなく、ほとんど一緒だねで済んだら
いいと思ったからです。
DD++さんからのコメントです。（令和２年１０月１８日付け）
(22/7)^(1/2)の一辺で正方形を作れば人間の眼の精度での判断ではπの面積とは言わ
ないでしょう。
π^(1/2) = 1.772453…… 、(22/7)^(1/2) = 1.772810……
単位が全て cm だとして、私は 3.6μm は人間の眼で差異を認識できるものだとは思いま
せん。3^(1/2) = 1.732050……でさえ、真値との差は 0.4mm で、一般的なシャープペンシル
の線の幅より小さい差です。
でも、これらはGAIさんには「見れば明らかに違うからダメ」と言われてしまうわけですね。
私の視力では 3.6μm はもちろんのこと、おそらく 0.4mm の方でさえ紙を重ねて透かしでも
しないとどう違うのかさっぱりわからないでしょうし、近似解と認めない理由もないと思います
けど。
ある近似解にどれだけ価値があるかは、その「近さ」を客観的に共有できるかどうかで決
まると私は思います。そも、GAI さんが (2143/22)^(1/2) について「小数第9位まで一致する」
と書いたことこそ、まさしく近さの客観的共有ではありませんか。もしこれを「(2143/22)^(1/2)
は円周率に近い」とだけ書いていたら、台無しもいいところです。
作図問題も同じで、「この作図方法は手作業だったことによる誤差を除けば厳密な図に一
致する」という基準は近さの客観性を共有できますから、例え厳密な図と差があっても価値の
ある近似図として評価されるべきものだと思います。あるいは、他の基準を採用する場合でも、
他の人が「なるほどそれくらいの近さ基準での近似図なんだね」と納得できるならその作図に
は価値があるでしょう。
（作図に限れば、客観的に共有可能な他の基準が存在する気はあまりしませんが……）
それで、GAIさんの言う「ほとんど一緒だねで済ませる」という基準は……GAIさんの持って
いる「近さ」の印象を私はどう共有すればいいですか？結局、GAIさんの主張は「ある程度の
誤差を正解と認める寛容さをもつべき」というものではなく、「正解と不正解との境界を自分
のわがままで決めて、その価値観を他人にも押し付けたい」というひどく独善的なものにしか
見えないのですが、どうなんでしょう。
ＧＡＩさんからのコメントです。（令和２年１０月１８日付け）
(22/7)^(1/2)での図を実際書いてみたわけではありませんが、22/7=3.14285714･･･でπに
近いがまだこれでは描けたとは言えないだろうとの感覚で（教科書で円周率を３にしましょう、
での違和感と似ている）発言したまでで、これで見た目には区別が付くか付かないかは、そ
もそも正方形と円を見て面積を較べること自体が不可能でしょうしね。ここをいかにも見てき
たように表現したことはお詫びします。（背景には上記の計算での近似の感覚があります。）
「ほとんど一緒だねで済ませる」という基準は……GAIさんの持っている「近さ」の印象を
私はどう共有すればいいですか？との意見ですがまさにこれは各自が思うことなので共有
は出来ないと思います。
DD++氏との議論では前々から感じることなんですが、「正解と不正解との境界を自分のわ
がままで決めて、その価値観を他人にも押し付けたい」のような表現で、こちらが思ってもい
ないことを言い出されるのがとても不思議に感じます。
だから極端に言えば正解も不正解もないと言えます。（各自は”とてもよい図が描けたな”と
いう感覚を持てるだけで（これがわがままといえばわがままですが）、これが正解だの不正解
だのの判定は保留するしかないでしょう。
価値観を人に押し付けるなどと、これっぽちも思っておりません。逆に、DD++氏はどこに押
し付けられたものを感じられたんですか？
DD++さんからのコメントです。（令和２年１０月１８日付け）
DD++氏はどこに押し付けられたものを感じられたんですか？
私が最初に発言する直前のGAIさんの投稿の
作図せよの要求に、この近似が達成できれば作図されるにしてほしいものだ。
この「作図されるにしてほしい」は「作図を正解と認めてほしい」の意味ではないのですか？
ＧＡＩさんからのコメントです。（令和２年１０月１８日付け）
元々連分数での計算方法や、有理数での連分数表示あるいは実数の連分数などの表示
や性質を調べている中で、もっと情報が欲しいと思い手にした本の中に、たまたま、ここに紹
介したラマヌジャンの√πなる話題が載っており、これは面白いと感じた。連分数の力を感じ
られる例として、ぜひ皆さんに知らせたかった。
ラマヌジャンという人は、x^3+y^3=z^3には整数解が存在しないことは百も承知で、
x^3+y^3=z^3-1を満たすたくさんの整数解を示したりと、自分が見つけた式などに証明という
ラマヌジャンにとっては不要なものは一切付けずにたくさんの等式をこの世に送り出している。
そして、それらはそのような数学的現象をより深く理解させるヒントを含んである事が多い。
これもラマヌジャンにとっては√πが分数の冪乗根では表されないことは百も承知で、この
分数での8乗根で驚くべき近似値を元に構成するという（楽しんでいると言うに相応しい。）遊
びをやっている。
ですから、これを正解にしてほしいという位に凄いと思い、ラマヌジャンではなく、私が作図
せよという要求に十分こたえていると感激しコメントしたものであり、超越数であることの証
明を十分理解されるDD++氏から見れば、そうはいかないと判断されるのは当然であり、別
に私の気持ちを受け入れるべきだと強要している訳でも何でもありません。
悲しいかな、このパズルとも思える数学的構造の深みを理解できない私は、このように感
想を抱いたという顛末です。
何度も申し上げますが、自分の価値観を人に強要しようとか、独善的に判断と見えてしま
うなら、無明なる故の誤謬と一笑に伏しておいてください。
DD++さんからのコメントです。（令和２年１０月１９日付け）
数学において、「正しい」という言葉は非常に重い意味を持ちます。真なる命題として客観
的に証明されたということ、今後他の議論の根拠に用いることができるということ、そして、
残念なことに問題として終結しこれ以上議論する価値がなくなったということでもあるんです。
ラマヌジャンが得た π≒(2143/22)^(1/4) という結果はもちろん素晴らしいことです。しかし、
「正しくない」。
もし「正しい」と認めてしまえば、円周率を求める遠大な旅路はそこで終着点です。誰かが
旅をやめて立ち止まる発言ではなく、その先の道そのものが消えてしまう発言なんです。
「これはあくまでも近似であり、正確に作図されたわけではないだろう！」という発言が喜
びにあふれた非常に前向きな発言であることを理解できたとき、GAIさんはラマヌジャンに
一歩近づけるかもしれませんね。
最後に、ちょっとヒートアップしすぎて、私の言い方がキツくなりすぎていた気がします。す
みませんでした。
