入れて表し、通常感情表現は入れないのが常識なのに"beau(beatiful)"という単語を用いて
いるという記述を見たことがあった。
この頃、 L(a,b)=∑[n=1,∞](log(n))^b/n^a なる極限値についていろいろ計算していたら、
次の明示式で表せることが起こりそうでした。
L(2,1)=-zeta'(2)
L(3,1)=-zeta'(3)
L(4,1)=-zeta(4)
L(2,2)=zeta''(2)
L(3,2)=zeta''(3)
L(4,2)=zeta''(4)
L(2,3)=-zeta'''(2)
L(3,3)=-zeta'''(3)
L(4,3)=-zeta'''(4)
L(2,4)=zeta''''(2)
L(3,4)=zeta''''(3)
L(4,4)=zeta''''(4)
即ち、一般に、
∑[n=1,∞](-log(n))^b/n^a=zeta[b](a) (zeta[b]はゼータ関数のb回微分を示す。）
と表せることになり、そこで今度は、zeta'(-1)は何になるのだろう？と疑問が湧いた。
調べると、 -zeta'(-1)=0.165421143700･･･＝K(Kinkelin 定数）というらしく、
=(γ+log(2*π)-1)/12-zeta'(2)/(2*π^2) （γ=0.57721566490･･･：オイラー・マスケローニ定数）
とある。これらを組合すと、
zeta'(2)=π^2/6*(γ+log(2*π)-12*K-1)=zeta(2)*(γ+log(2*π)+12*zeta'(-1)-1）
これから、 zeta'(2)/zeta(2)=γ+log(2*π)+12*zeta'(-1)-1 のように、zetaとその微分zeta'
をセットにしてみると、スッキリ型で記述できそうになった。
そこで、この型を作り出すために努力していくと（長くなるので随分省略して記述します。）
zeta'(4)/zeta(4)=γ+log(2*π)-120*zeta'(-3)-11/6
zeta'(6)/zeta(6)=γ+log(2*π)+252*zeta'(-5)-137/60
zeta'(8)/zeta(8)=γ+log(2*π)-240*zeta'(-7)-363/140
などが成立した。ここで、
zeta(-1)=-1/12
zeta(-3)=1/120
zeta(-5)=-1/252
zeta(-7)=1/240
また、
11/6=1+1/2+1/3
137/60=1+1/2+1/3+1/4+1/5
363/140=1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7
などと同等であることから、一般に、
zeta'(2)/zeta(2)=γ+log(2*π)-zeta'(-1)/zeta(-1)-sum(i=1,1,1/i)
zeta'(4)/zeta(4)=γ+log(2*π)-zeta'(-3)/zeta((-3)-sum(i=1,3,1/i)
zeta'(6)/zeta(6)=γ+log(2*π)-zeta'(-5)/zeta(-5)-sum(i=1,5,1/i)
zeta'(8)/zeta(8)=γ+log(2*π)-zeta'(-7)/zeta(-7)-sum(i=1,7,1/i)
･････････
さらに、zeta'(0)/zeta(0)=log(2*π) となることも使えば、nを自然数とするとき、
zeta'(-(2*n-1))/zeta(-(2*n-1))+zeta'(2*n)/zeta(2*n)=γ+zeta'(0)/zeta(0)-sum(i=1,2*n-1,1/i)････(*)
が成立し、また、ディガンマ関数 psi(z)=d/dz log(Γ(z))=Γ'(z)/Γ(z) の性質を利用すれば、
psi(n)=-γ+sum(i=1,n-1,1/i)
なので、(*)は、
zeta'(0)/zeta(0)-[zeta'(-(2*n-1))/zeta(-(2*n-1))+zeta'(2*n)/zeta(2*n)]=psi(2*n)
と陰（マイナスと奇数の世界）と陽（プラスと偶数の世界）が見事に調和されて結びついている
ことがみてとれる。
オイラーならずとも、思わず美しい！と叫びたくなる。
