x+ y = u、xy = v とおくと、 3u^2-8v = 16
ゆえに、 v=3/8v^2-2 … （１）
また、方程式 t^2ーut + v = 0 が実数解 x、y をもつから、 u ^2-4v≧0 であり、この不
等式に（１）を代入すると、 u^2-4{(3/8)u^2-2｝≧0 よって、 u^2-16 ≦0
これを解いて、 -4 ≦u≦4
したがって、x+ y のとりうる値の範囲は、 -4 ≦x + y ≦4
他にも、x + y=k とおき、y=k-x として代入し、判別式で k の値を決めるという方法があり
ますが、これ以外の方法を教えてください。
Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（令和２年９月３０日付け）
媒介変数表示をして考察する方法もある。１例として、
(x，y)=(-((2(-1-6t+3t^2))/(3-2t+3t^2))，(2(-3+6t+t^2))/(3-2t+3t^2)) より、
x+y=-((4(1-6t+t^2))/(3-2t+3t^2))∈[-4,4] でFin。
また、別解として、 f(x,y)=3*x^2 - 2*x*y + 3*y^2 - 16」
Grad(f)(x,y)=K*(1,1)
{-16 + 3 x^2 - 2 x y + 3 y^2 = 0, 6 x - 2 y=K, -2 x + 6 y=K}
を解いて、 {{x -> -2, y -> -2, K -> -8}, {x -> 2, y -> 2, K -> 8}}
より、 x+y ∈[-4,4]
ＥＴさんからのコメントです。（令和２年９月３０日付け）
媒介変数表示は、どういう置き方をしたのでしょうか？
Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（令和２年９月３０日付け）
{3*x^2 - 2*x*y + 3*y^2 - 16 = 0, y = t*(x + 2) - 2} を解きました。
また、次のようにしてもよい。
3*x^2 - 2*x*y + 3*y^2 - 16 = 0 から、
y= 1/3 (x - 2 Sqrt[2] Sqrt[6 - x^2])
y= 1/3 (x + 2 Sqrt[2] Sqrt[6 - x^2])
より、 x+y=x+ 1/3 (x - 2 Sqrt[2] Sqrt[6 - x^2]) (の最小値=-4)
x+y=x+ 1/3 (x + 2 Sqrt[2] Sqrt[6 - x^2]) (の最大値=4)
（参考） 「Lagrange multiplier」が一番のお薦めです。
（コメント） Ｓ（Ｈ）さんの計算の根底には、４５°回転が関係しているように感じます。
傾き１の直線 ｙ＝ｘ と 3x^2-2xy + 3y^2= 16 の交点を計算すると、（±２，±２）（複号同順）
で、このうちの１点（−２，−２）を通る直線が、y = t*(x + 2) - 2 となります。
3x^2-2xy + 3y^2= 16 のとき、x+ y のとりうる値の範囲の計算だったら、次のようにしても
求められますね！
3x^2-2xy + 3y^2= 16 上の点（ｘ，ｙ）を原点中心に−４５°回転した点を（Ｘ，Ｙ）とおくと、
ｘ＝（Ｘ−Ｙ）/√２ 、ｙ＝（Ｘ−Ｙ）/√２
これを上式に代入して、 Ｘ2＋２Ｙ2＝８ を得る。
２Ｙ2＝８−Ｘ2≧０ より、 −２√２≦Ｘ≦２√２
ところで、 ｘ＋ｙ＝√２Ｘ なので、 −４≦ｘ＋ｙ≦４ となる。
