・指定確率の試行作り                       GAI 氏

 区間[0,1]の任意の有理数値の確率の値を持つ現象を考えると、例えば、確率P=1/3 であ
るような事象とは、

 ”コインをトスして、初めて表が出るまで投げ続けたときに、偶数回目で終了するもの”

と指定しておけば、確かにその確率は、

1回目:裏 、2回目:表

または、

1回目:裏 、2回目:裏 、3回目:裏 、4回目:表

または、

1回目:裏 、2回目:裏 、3回目:裏 、4回目:裏 、5回目:裏 、6回目:表

 以下同様と考えて、

1/2*1/2+1/2*1/2*1/2*1/2+1/2*1/2*1/2*1/2*1/2*1/2+・・・・
=(1/2)^2+(1/2)^4+1/2)^6+・・・
=(1/2)^2/(1-(1/2)^2)=(1/4)/(1-1/4)=1/3

の確率で現象が起きる。

 そこで、起こる確率PがP=5/9であるような事象は、どんなものとして指定しておけばよいで
しょうか?


 らすかるさんからのコメントです。(令和2年9月21日付け)

 単に、確率P=5/9であるような事象を作ればよいだけなら、

  「1〜9までの9枚のカードから1枚引いて5以下である確率」

が簡単でよいと思います。もしコイントス限定ならば、例えば、

  「コインをトスして、初めて表が出るまで投げ続けるという試行を2度行ったとき、投げた
  回数の積が偶数になる確率」

とか

  「コインをトスして、初めて表が出るまで投げ続けたときに、6n回目または6n±1回目で
  終了するもの」

のような感じでできますね。

 後者は、一般のPに通用する方法で、Pを2進展開したときの1の位置です。

 例えば、

 P=1/3ならば、P=0.0101010101…(2) なので、1の位置は、2,4,6,… つまり、2n

 従って、「偶数回で終わる確率」とすれば、P=1/3

 P=5/9ならば、P=0.1000111000111000111…(2) なので、1の位置は

 1,5,6,7,11,12,13,… つまり、6n+0,1,5

 従って、「6n回目または6n±1回目で終了する確率」とすれば、P=5/9


 GAIさんからのコメントです。(令和2年9月22日付け)

 もしコイントス限定ならば、例えば、

  「コインをトスして、初めて表が出るまで投げ続けるという試行を2度行ったとき、投げた
  回数の積が偶数になる確率」


 1/3になる試行を使えば、5/9=1-4/9=1-(2/3)^2=1-(1-1/3)^2 から思い付けるんですね。
でも、この切り返しが凄い。

  「コインをトスして、初めて表が出るまで投げ続けたときに、6n回目または6n±1回目で
  終了するもの」

のような感じでできますね。

 後者は、一般のPに通用する方法で、Pを2進展開したときの1の位置です。

 例えば、

 P=1/3ならば、P=0.0101010101…(2) なので、1の位置は、2,4,6,… つまり、2n

 従って、「偶数回で終わる確率」とすれば、P=1/3

 P=5/9ならば、P=0.1000111000111000111…(2) なので、1の位置は

 1,5,6,7,11,12,13,… つまり、6n+0,1,5

 自分も分数を2進数での表示でいけるとは思ったのですが、その小数表示が、どの様にす
ればいいのか最初気付けませんでした。いろいろなものを参考にやっと表示できるようにな
りました。

 分母が素数の時、長たらしいサイクルですね。無理数でもn進法表示ができるんですね。
(見かけなかったので知らなかった。)



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