・無限回の合成                           GAI 氏

 f(x)=x+x^2/2 ならば、2回の合成関数は、 f(f(x)) = 1/8*x^4 + 1/2*x^3 + x^2 + x

 f(x)=x+x^2/3 ならば、3回の合成関数は、

f(f(f(x))) = 1/2187*x^8 + 4/729*x^7 + 8/243*x^6 + 10/81*x^5 + 1/3*x^4 + 2/3*x^3 + x^2 + x

 一般に、f(x)=x+x^2/n ならば、n回の合成関数は、f(f(・・・・・f(x)・・・・・))を作るものとすれば、

n→∞であるとき、この関数列はどんな関数に収束するか?


 DD++さんからのコメントです。(令和2年9月10日付け)

 これ、本当に収束します?


 GAIさんからのコメントです。(令和2年9月11日付け)

 g(x)=x/(1-x/n) なら、k回の合成 g(g(・・・g(x)・・・))=x/(1-k*x/n) が起こる。

 従って、n回の合成では、 x/(1-x)

 ここに、

 g(x)=x*{1+x/n+(x/n)^2+(x/n)^3+・・・}=x+x^2/n+O(1/n^2)=f(x) +O(1/n^2)

なので、n回の合成では、 g(g(・・・・g(x)・・・・))=f(f(・・・・f(x)・・・・))+O(1/n) から、
n→∞なら f(f(・・・・f(x)・・・・))→ x/(1-x) と認識していました。


 DD++さんからのコメントです。(令和2年9月11日付け)

 これ、私には自明と思えないんですが、証明できるんでしょうか?


 らすかるさんからのコメントです。(令和2年9月11日付け)

 x≧1では収束しませんので、「(-∞,1)で定義される y=x/(1-x) という関数」あるいは
「y=x/(√(1-x))^2 という関数」ぐらいですかね。


 GAIさんからのコメントです。(令和2年9月12日付け)

 f(x)=x+x^2/n で、nを固定して、そのk回の合成 f(f(・・・f(x)・・・))をy[k]で表すと、

y[k+1]=y[k]+1/n*y[k]^2・・・・・・・@
y[0]=x

の漸化式で表せる。

 ある関数Y(x)で、Y((k+1)/n)=Y(k/n)+1/n*Y(k/n)^2 が成立しているとすれば、

 Y(k/n+1/n)-Y(k/n)=1/n*Y(k/n)^2

 ここで、k/n=t、1/n=hと見なせば、Y(t+h)-Y(t)=h*Y(t)^2 から、Y(k/n)=y[k]とすれば@は

Y(t)'=Y(t)^2・・・・・・・・A
Y(0)=x

の解ととれる。これを変数分離で解けば、

Y^(-2)dY=dt より、-1/Y=t+C (C:積分定数)

t=0 でY=x より、C=-1/x

よって、 Y(t)=x/(1-t*x)

ここで、 k=n*tからn→∞の時 y[k]=y[n*t]→Y(t)

 n回の合成 f(f(・・・f(x)・・・))に対しては、k=n よりt=1となり、n→∞の時、

 合成 f(f(・・・f(x)・・・))→Y(1)=x/(1-x)


 DD++さんからのコメントです。(令和2年9月12日付け)

 GAIさんの表記を借りるとして、

 x>1 のとき、 Y[1] < 0 < y[1] < y[2] < y[3] < ……

なので、極限が(xの制限なしで)Y[1] となるのは明らかにおかしな結果だと思います。



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