f(x)=x+x^2/3 ならば、３回の合成関数は、
f(f(f(x))) = 1/2187*x^8 + 4/729*x^7 + 8/243*x^6 + 10/81*x^5 + 1/3*x^4 + 2/3*x^3 + x^2 + x
一般に、f(x)=x+x^2/n ならば、ｎ回の合成関数は、f(f(･････f(x)･････))を作るものとすれば、
n→∞であるとき、この関数列はどんな関数に収束するか？
DD++さんからのコメントです。（令和２年９月１０日付け）
これ、本当に収束します？
ＧＡＩさんからのコメントです。（令和２年９月１１日付け）
g(x)=x/(1-x/n) なら、k回の合成 g(g(･･･g(x)･･･))=x/(1-k*x/n) が起こる。
従って、n回の合成では、 x/(1-x)
ここに、
g(x)=x*{1+x/n+(x/n)^2+(x/n)^3+･･･}=x+x^2/n+O(1/n^2)=f(x) +O(1/n^2)
なので、n回の合成では、 g(g(････g(x)････))=f(f(････f(x)････))+O(1/n) から、
n→∞なら f(f(････f(x)････))→ x/(1-x) と認識していました。
DD++さんからのコメントです。（令和２年９月１１日付け）
これ、私には自明と思えないんですが、証明できるんでしょうか？
らすかるさんからのコメントです。（令和２年９月１１日付け）
x≧1では収束しませんので、「(-∞,1)で定義される y=x/(1-x) という関数」あるいは
「y=x/(√(1-x))^2 という関数」ぐらいですかね。
ＧＡＩさんからのコメントです。（令和２年９月１２日付け）
f(x)=x+x^2/n で、nを固定して、そのk回の合成 f(f(･･･f(x)･･･))をy[k]で表すと、
y[k+1]=y[k]+1/n*y[k]^2･･･････①
y[0]=x
の漸化式で表せる。
ある関数Y(x)で、Y((k+1)/n)=Y(k/n)+1/n*Y(k/n)^2 が成立しているとすれば、
Y(k/n+1/n)-Y(k/n)=1/n*Y(k/n)^2
ここで、k/n=t、1/n=hと見なせば、Y(t+h)-Y(t)=h*Y(t)^2 から、Y(k/n)=y[k]とすれば①は
Y(t)'=Y(t)^2････････②
Y(0)=x
の解ととれる。これを変数分離で解けば、
Y^(-2)ｄY=dt より、-1/Y=t+C (C:積分定数）
t=0 でY=x より、C=-1/x
よって、 Y(t)=x/(1-t*x)
ここで、 k=n*tからn→∞の時 y[k]=y[n*t]→Y(t)
ｎ回の合成 f(f(･･･f(x)･･･))に対しては、k=n よりt=1となり、n→∞の時、
合成 f(f(･･･f(x)･･･))→Y(1)=x/(1-x)
DD++さんからのコメントです。（令和２年９月１２日付け）
GAIさんの表記を借りるとして、
x＞1 のとき、 Y[1] < 0 < y[1] < y[2] < y[3] < ……
なので、極限が（xの制限なしで）Y[1] となるのは明らかにおかしな結果だと思います。
