個数の計算で、必然的に２種類の数え方が等しくなる場合がある。集合論での妙味と言っ
ても過言ではないと思う。

（個数の計算Ａ）　０以上の整数 ｘ、ｙ、ｚ に対して、ｘ＋ｙ＋ｚ≦２　を満たす組（ｘ，ｙ，ｚ）の個
　　　　　　　　　　数をＭとおく。

（個数の計算Ｂ）　０以上の整数 ａ、ｂ に対して、ａ＋ｂ≦３　を満たす組（ａ，ｂ）の個数をＮと
　　　 　　　　　　おく。

　このとき、実は、Ｍ＝Ｎ　が成り立つ。

　実際に個数を求めてみると、

　（ｘ，ｙ，ｚ）＝（０，０，０）、（１，０，０）、（０，１，０）、（０，０，１）、（２，０，０）、（０，２，０）、
　　　　　　　　（０，０，２）、（１，１，０）、（１，０，１）、（０，１，１）　より、　Ｍ＝１０

　（ａ，ｂ）＝（０，０）、（１，０）、（０，１）、（２，０）、（０，２）、（１，１）、（３，０）、（０，３）、（２，１）、
　　　　　　 （１，２）　より、　Ｎ＝１０


　実は、上記のように具体的に、Ｍ、Ｎの値を求めなくても、Ｍ＝Ｎであることは簡単に説明
できる。

　○を３＋１＝４個、●を２＋１＝３個用意し、これら計４＋３＝７個を横一列に並べる。ただし、

左端は必ず○とし、右端は必ず●とする。そのうちの一つの順列、例えば、

　　○○●●○○●　　→　　説明上、　○₁○₂●₁●₂○₃○₄●₃　とする。

に対して、次のような解釈をする。

　○₁と○₂の間に●がない。（→　ｘ＝０）
　○₂と○₃の間に●が２個ある。（→　ｙ＝２）
　○₃と○₄の間に●がない。（→　ｚ＝０）

　　よって、１つの順列　○○●●○○●　に対して、　（ｘ，ｙ，ｚ）＝（０，２，０）　が対応する。

　●₂と●₃の間に○が２個ある。（→　ａ＝２）
　●₁と●₂の間に○がない。（→　ｂ＝０）

　　よって、１つの順列　○○●●○○●　に対して、　（ａ，ｂ）＝（２，０）　が対応する。

　以上から、１つの順列　○○●●○○●　に対して、

　　　（ｘ，ｙ，ｚ）＝（０，２，０）　と　（ａ，ｂ）＝（２，０）　が１対１に対応する。

　したがって、　Ｍ＝Ｎ　であることが言える。