4*n+1型の素数[5,13,17,29,37,41,･･･](Pythagorean primes)の整数倍であればよい。
5^2=3^2+4^2
10^2=6^2+8^2 (10=2*5)
13^2=5^2+12^2
15^2=9^2+12^2 (15=3*5)
17^2=8^2+15^2
20^2=12^2+16^2 (20=4*5)
25^2=15^2+20^2(=7^2+24^2) (25=5*5)
26^2=10^2+24^2 (26=2*13)
･･････････
逆に、4*n+3型の素数の整数倍の平方数は決して異なる２つの平方数の和では表せない。
ところが、異なる３つの平方数の和が一つの数平方数を構成するためには、その一つの
数は別に4*n+3型の素数[3,7,11,19,23,31,43,･･･]であろうと、
(3^2=1^2+2^2+2^2で異なる３つに反するので除外する。）
7^2=2^2+3^2+6^2
11^2=2^2+6^2+9^2
19^2=1^1+6^2+18^2(=6^2+10^2+15^2)
23^2=3^2+6^2+22^2(=3^2+14^2+18^2)
31^2=5^2+6^2+30^2(=6^2+14^2+27^2)
･･････････
と、お構い無しになる。当然この整数倍も(2*7,3*7,･･･,2*11,3*11,･･･)その平方数は異なる３
つの平方数の和で表せることになる。
そこで、
[問題] どんな数の平方数が異なる３つの平方数の和で決して表すことはできないのもにな
るでしょうか？
らすかるさんからのコメントです。（令和２年８月１３日付け）
逆に、4*n+3型の素数の整数倍の平方数は決して異なる２つの平方数の和では表せない。
そんなことはありません。
例えば、4n+3型の素数3の75倍は225ですが、225=12^2+9^2 です。
ＧＡＩさんからのコメントです。（令和２年８月１４日付け）
そうか！！4*n+1倍したら可能ですね。だから素因数分解したときにその因数に一個も
4*n+1型の素数を含まない時が異なる２つの平方数の和では表せないとしないとだめですね。
