3次元のスカラー場fに対し、rot(f・grad(f))=0 が成り立つことを示せ。
という問題が分からなくて困っています。お願いします
GAIさんからのコメントです。(令和2年8月6日付け)
3次元のスカラー場がfなので、例えば、f(x,y,z)=x+y^2+z^3 でスカラー値を決めていると仮
定すれば、定義から、
grad(f)=(1,2*y,3*z^2)
で、
f*grad(f)=(x+y^2+z^3,2*y*(x+y^2+z^3),3*z^2*(x+y^2+z^3))
=(x+y^2+z^3,2*x*y+2*y^3+2*y*z^3,3*x*z^2+3*y^2*z^2+3*z^5)
ここで、
Vx=x+y^2+z^3 、Vy=2*x*y+2*y^3+2*y*z^3 、Vz=3*x*z^2+3*y^2*z^2+3*z^5
とおけば、 f*grad(f)=(Vx,Vy,Vz) で、
∂Vz/∂y=6*y*z^2
∂Vy/∂z=6*y*z^2
∂Vx/∂z=3*z^2
∂Vz/∂x=3*z^2
∂Vy/∂x=2*y
∂Vx/∂y=2*y
ここに、
rot(Vx,Vy,Vz)=(∂Vz/∂y-∂Vy/∂z,∂Vx/∂z-∂Vz/∂x,∂Vy/∂x-∂Vx/∂y)
であることから、 rot(Vx,Vy,Vz)=(0,0,0) となりますよ、という意味なので、grad とrot の定義
からfが連続であるどの様な関数で定義されていてもこの関係は保たれると理解しておけば
いいのではないでしょうか。
(f(x,y,z)=x*y^2*z^3でも成立することを確かめてみて下さい。)
無理に証明と思うより、なーんだと思っとけばいいような気がします。
(コメント) 久しぶりにベクトル解析の本を開いて計算してみました。
定義から、 grad(f)=(∂f/∂x,∂f/∂y,∂f/∂z) に対して、
f・grad(f)=(f・∂f/∂x,f・∂f/∂y,f・∂f/∂z)
g=(gx,gy,gz) として、
rot(g)=(∂gz/∂y-∂gy/∂z,∂gx/∂z-∂gz/∂x,∂gy/∂x-∂gx/∂y)
GAIさんのように具体的に f を定めなくても、必然的に、rot(f・grad(f))=(0,0,0) となりま
すね。実際に、例えば、
x成分=∂f/∂y・∂f/∂z+f∂2f/∂y∂z−∂f/∂y・∂f/∂z−f∂2f/∂y∂z=0
同様にして、 y成分=z成分=0 である。
#大学初年級の微分積分学の後期で学ぶ内容かな?