という問題が分からなくて困っています。お願いします
ＧＡＩさんからのコメントです。（令和２年８月６日付け）
３次元のスカラー場がfなので、例えば、f(x,y,z)=x+y^2+z^3 でスカラー値を決めていると仮
定すれば、定義から、
grad(f)=(1,2*y,3*z^2)
で、
f*grad(f)=(x+y^2+z^3,2*y*(x+y^2+z^3),3*z^2*(x+y^2+z^3))
=(x+y^2+z^3,2*x*y+2*y^3+2*y*z^3,3*x*z^2+3*y^2*z^2+3*z^5)
ここで、
Vx=x+y^2+z^3 、Vy=2*x*y+2*y^3+2*y*z^3 、Vz=3*x*z^2+3*y^2*z^2+3*z^5
とおけば、 f*grad(f)=(Vx,Vy,Vz) で、
∂Vz/∂y=6*y*z^2
∂Vy/∂z=6*y*z^2
∂Vx/∂z=3*z^2
∂Vz/∂x=3*z^2
∂Vy/∂x=2*y
∂Vx/∂y=2*y
ここに、
rot(Vx,Vy,Vz)=(∂Vz/∂y-∂Vy/∂z,∂Vx/∂z-∂Vz/∂x,∂Vy/∂x-∂Vx/∂y)
であることから、 rot(Vx,Vy,Vz)=(0,0,0) となりますよ、という意味なので、grad とrot の定義
からfが連続であるどの様な関数で定義されていてもこの関係は保たれると理解しておけば
いいのではないでしょうか。
（f(x,y,z)=x*y^2*z^3でも成立することを確かめてみて下さい。）
無理に証明と思うより、なーんだと思っとけばいいような気がします。
（コメント） 久しぶりにベクトル解析の本を開いて計算してみました。
定義から、 grad(f)=(∂ｆ/∂ｘ，∂ｆ/∂y，∂ｆ/∂ｚ) に対して、
ｆ・grad(f)=(ｆ・∂ｆ/∂ｘ，ｆ・∂ｆ/∂y，ｆ・∂ｆ/∂ｚ)
ｇ＝（ｇｘ，ｇｙ，ｇｚ） として、
ｒｏｔ（ｇ）＝（∂ｇz/∂y-∂ｇy/∂z，∂ｇx/∂z-∂ｇz/∂x，∂ｇy/∂x-∂ｇx/∂y）
ＧＡＩさんのように具体的に ｆ を定めなくても、必然的に、ｒｏｔ（ｆ・grad(f)）=(0，0，0) となりま
すね。実際に、例えば、
ｘ成分＝∂ｆ/∂y・∂ｆ/∂ｚ＋ｆ∂2ｆ/∂y∂ｚ−∂ｆ/∂y・∂ｆ/∂ｚ−ｆ∂2ｆ/∂y∂ｚ＝０
同様にして、 ｙ成分＝ｚ成分＝０ である。
＃大学初年級の微分積分学の後期で学ぶ内容かな？
