よ。
に対して、以下の発想達をいただきました。
☆ ヨッシー様より引用
(1) (x＋by＋c)(x＋dy＋e) として、b、c、d、e を求め、ａ＝ｂ＋ｄ を求める。
(2) この式を ｘ の２次式 ｘ^2＋(ay−3)ｘ＋3y^2−5y＋2 と考え、
ｘ^2＋(ay−3)ｘ＋(3y−2)(y−1) が因数分解できるように ａ を決める。
(3) axy＋ｘ^2−3ｘ＋3y^2−5y＋2＝0 とおくと、この式は２つの直線を表す。
ｘ＝０ を代入して、3y^2−5y＋2＝0 より、ｙ＝1、2/3
ｙ＝０ を代入して、ｘ^2−3ｘ＋2＝0 より、ｘ＝１、２
２点(1,0)、(0,2/3) を通る直線 2x＋3y−2＝0 、２点(2,0)、(0,1) を通る直線 x＋2y−2＝0
を掛けた (2x＋3y−2)(x＋2y−2)＝0
または
２点(1,0)、(0,1) を通る直線 x＋y−1＝0 、２点(2,0)、(0,2/3) を通る直線 x＋3y−2＝0
を掛けた (x＋y−1)(x＋3y−2)＝0
のうち適する方を選ぶ。
・・・・・・・・・・・など。
☆ 2次曲線 axy＋ｘ^2−3ｘ＋3y^2−5y＋2＝0 が、特異点を有すの視座から瞬時に a を
定めて下さい。
Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（令和２年７月１６日付け）
問題 2x^2-3xy-ky^2-10x+(7-k)y+12 が一次式の積となるような定数kの値を定めよ。
これを世界で誰もしないかもしれない発想で少女Aが瞬時に解いた。
与えられた式 -k y^2+(7-k) y+2 x^2-3 x y-10 x+12 を斉次化し、
-k Y^2-k Y Z+2 X^2-3 X Y-10 X Z+7 Y Z+12 Z^2
対応する対称行列 M={{2, -(3/2), -5}, {-(3/2), -k, (7 - k)/2}, {-5, (7 - k)/2, 12}}
の行列式=0 から、k = -1、k= 2
（コメント） 高校数学では定番の手法が上記には入っていないのですね？
Ｓ（Ｈ）さんの問題は、次のように解かれる場合が多いのではないでしょうか。
（解） ｘの２次方程式 2x^2-（3y+10）x-ky^2+(7-k)y+12=0 と考えて、判別式をＤとおくと、
Ｄ＝（3y+10）^2-8（-ky^2+(7-k)y+12）=(8k+9)y^2+(8k+4)y+4
題意を満たすためには、ｙの２次方程式 Ｄ＝０ が重解を持てばよい。
よって、判別式をＤ’とすると、
Ｄ’＝(4k+2)^2-4(8k+9)=16k^2-16k-32=0 すなわち、 k^2-k-2=0 から、 k=2、-1 （終）
