面積が1の正方形をいくつか用意します。底辺が、1、3、5、7、9、… と対称的に山を作り、
左下角から、直線により面積を2等分します。
n段のとき、面積は、1+3+5+・・・+(2n−1)=n×n になります。
下からの高さは、1、1、7/4、・・・ となりますが、n段のときは、どうなるでしょう?
GAIさんからのコメントです。(令和2年6月13日付け)
nが偶数のとき、 n/2
nが奇数のとき、 (3*n^2+1)/(2*(3*n-1))
ksさんからのコメントです。(令和2年6月14日付け)
奇数と偶数に分かれるのが、不思議です。
ksさんからのコメントです。(令和2年6月18日付け)
奇数と偶数にわかれる公式:
平面上の点を曲線で結ぶときの最小の交点数
nが奇数のとき、 (n-1)^2(n-3)^2/64
nが偶数のとき、 n(n-2)^2(n-4)/64
他に、奇数と偶数の公式ありますか?
らすかるさんからのコメントです。(令和2年6月18日付け)
奇数と偶数で場合分けされる公式はいくらでもあると思いますが、それ以前に「平面上の
点を曲線で結ぶときの最小の交点数」とは、どういう意味ですか?
点がいくつあっても、適当な順でなぞっていけば、曲線が全く交わらないように全ての点を
結べますので、普通に考えると、「平面上の点を曲線で結ぶときの最小の交点数」は、常に
0 のような気がするのですが・・・。
ksさんからのコメントです。(令和2年6月18日付け)
すべて他の点と曲線でつないでの意味かなと。証明はできませんが。
例 n=5のとき、最小の交点数は、1
らすかるさんからのコメントです。(令和2年6月19日付け)
ksさんへのお返事です。
すべて他の点と曲線でつないでの意味かなと。
なるほど、わかりました。
nが奇数のとき、 (n-1)^2(n-3)^2/64
nが偶数のとき、 n(n-2)^2(n-4)/64
この形は綺麗なので、以下のように一つにまとめることもできますね。
(2n-1+(-1)^n)(2n-3-(-1)^n)(2n-5+(-1)^n)(2n-7-(-1)^n)/1024
他に、例えば、
「正n角形の頂点を結んでできる鋭角(or鈍角or直角)三角形の数」
「n段積んだ正三角形の中に含まれる台形の個数」
なども偶奇によって場合分けしますね。
ksさんからのコメントです。(令和2年6月19日付け)
恐縮です。統一した式を展開したら、(f+g)/2+(−1)^n(f−g)/2 の形になるかなと計算
したのですが、なりませんでした。
らすかるさんからのコメントです。(令和2年6月19日付け)
f(n)=n(n-2)^2(n-4)/64 、g(n)=(n-1)^2(n-3)^2/64 とすると、
1024{f(n)+g(n)}/2=16n^4-128n^3+336n^2-320n+72
1024{f(n)-g(n)}/2=-16n^2+64n-72
一方、見やすくするために、(-1)^n=a とおいて、
(2n-1+a)(2n-3-a)(2n-5+a)(2n-7-a)
=16n^4-128n^3+(-8a^2-16a+344)n^2+(32a^2+64a-352)n+(a^4+4a^3-34a^2-76a+105)
=16n^4-128n^3+(-8-16a+344)n^2+(32+64a-352)n+(1+4a-34-76a+105) (∵a^2=1)
=16n^4-128n^3+(-16a+336)n^2+(64a-320)n+(-72a+72)
=(16n^4-128n^3+336n^2-320n+72)+a(-16n^2+64n-72)
ですから、一致しますね。