不思議なネーミングに心惹かれました。（参考：滋賀医科大学前期（２０１６）)
例 −２/３や４（＝４/１）は控えめな有理数であるが、１/２は控えめな有理数とは言えない。
今、控えめな有理数 ａ1、ａ2、・・・、ａn に対して、集合Ｓ（ａ1，ａ2，・・・，ａn）を
Ｓ（ａ1，ａ2，・・・，ａn）＝｛ｘ1ａ1＋ｘ2ａ2＋・・・＋ｘnａn｜ｘ1，ｘ2，・・・，ｘnは控えめな有理数｝
で定義する。
例 Ｓ（−２/３，２）を考えるとき、 ０＝１・（−２/３）＋（１/３）・２ なので、０はＳ（−２/３，２）
の要素である。
次の問題を考えてみよう。
（問１） Ｓ（ａ1，ａ2，・・・，ａn）の要素はすべて控えめな有理数となることを示せ。
（証明） 控えめな有理数 ａ1、ａ2、・・・、ａn 及び ｘ1，ｘ2，・・・，ｘn に対して、
ｘ1ａ1＋ｘ2ａ2＋・・・＋ｘnａn を通分すると、分母は必ず奇数となり、
ｘ1ａ1＋ｘ2ａ2＋・・・＋ｘnａn は控えめな有理数となる。 （証終）
次の（問２）（問３）が、控えめな有理数の本質的な性質と思われる。
（問２） ０でない控えめな有理数ａに対して、Ｓ（ａ）＝Ｓ（２ｋ）となる０以上の整数ｋが
存在することを示せ。
（証明） ０でない控えめな有理数ａは、 ａ＝α・２ｋ/β （α、βは奇数） と書ける。
Ｓ（ａ）の任意の要素をｃとおくと、題意より、 ｃ＝ｘ・ａ （ｘは控えめな有理数） と書ける。
このとき、 ｃ＝ｘ・ａ＝（ｘα/β）・２ｋ において、ｘα/βは控えめな有理数なので、
ｃは、Ｓ（２ｋ）の要素である。
逆に、Ｓ（２ｋ）の任意の要素をｃとおくと、題意より、 ｃ＝ｘ・２ｋ （ｘは控えめな有理数） と
書ける。
このとき、 ｃ＝ｘ・２ｋ＝（ｘβ/α）・α・２ｋ/β＝（ｘβ/α）・ａ で、ｘβ/αは控えめな有理
数なので、ｃはＳ（ａ）の要素である。
以上から、 ０でない控えめな有理数ａに対して、Ｓ（ａ）＝Ｓ（２ｋ）となる０以上の整数ｋが
存在する。 （証終）
（問３） Ｓ（ａ1，ａ2，・・・，ａn）＝Ｓ（ｂ）となる控えめな有理数ｂが存在することを示せ。
（証明） ａ1，ａ2，・・・，ａn がすべて０ならば、ｂ＝０ とおけばよいので、以下では、
ａ1，ａ2，・・・，ａn のどれかは０でないとする。（この事実は、後で用いられる。）
（問２）より、Ｓ（ａｉ）＝Ｓ（２ｋｉ）となる０以上の整数ｋｉが存在する。
ｎ個のｋｉのうち、最小の整数をｋとおく。
このとき、 Ｓ（ａ1，ａ2，・・・，ａn）＝Ｓ（２ｋ） であることを示す。
Ｓ（ａ1，ａ2，・・・，ａn）の任意の要素をｃとおくと、題意より、
ｃ＝ｘ1ａ1＋ｘ2ａ2＋・・・＋ｘnａn （ｘ1，ｘ2，・・・，ｘnは控えめな有理数） と書ける。
このとき、 ｃ＝ｘ・２ｋ （ｘは控えめな有理数） と書けるので、ｃは、Ｓ（２ｋ）の要素となる。
逆に、Ｓ（２ｋ）の任意の要素をｃとおくと、題意より、 ｃ＝ｘ・２ｋ （ｘは控えめな有理数） と
書ける。
このとき、２ｋの定め方から、０でないａｉに対して、 ａｉ＝（α/β）・２ｋ （α、βは奇数）
と書ける。
よって、 ｃ＝ｘ・２ｋ＝（ｘβ/α）・ａｉ より、 ｃは、Ｓ（ａ1，ａ2，・・・，ａn）の要素である。
以上から、 Ｓ（ａ1，ａ2，・・・，ａn）＝Ｓ（２ｋ） すなわち、 Ｓ（ａ1，ａ2，・・・，ａn）＝Ｓ（ｂ）と
なる控えめな有理数ｂが存在する。 （証終）
読者のために、練習問題を残しておこう。
練習 １はＳ（−２/３，２）の要素であるか？
（解） （問２）（問３）の性質から、 Ｓ（−２/３，２）＝Ｓ（２） が言える。
もし、１がＳ（２）の要素であると仮定すると、 １＝ｘ・２ （ｘは控えめな有理数） と書ける。
しかるに、 ｘ＝１/２ は控えめな有理数でないので、矛盾する。
よって、 １はＳ（−２/３，２）の要素にはなりえない。 （終）
上記の練習で見たように、（問２）（問３）の性質から、Ｓ（ａ1，ａ2，・・・，ａn）はすべてＳ（２ｋ）
の形の集合に一致するという美しい性質を持っている。
このことが分かれば、次の問題に対して即答することも可能だろう。上記の性質を知らな
ければ、雲を掴むような問題なのだが．．．。
問題 １２が属する集合Ｓ（ａ1，ａ2，・・・，ａn）はいくつあるか。
（解） １２＝２2・３ より、１２は、Ｓ（２0）、Ｓ（２1）、Ｓ（２2）に属し、ｋ≧３に対しては、Ｓ（２ｋ）
に属さない。よって、３個である。 （終）
