・難問2                             らすかる氏

  他サイトにあった問題で、何とか解けましたが大変でした。

   の値を求めよ。



 GAIさんからのコメントです。(令和2年4月18日付け)

 /4+log[2+]/2−π/24 ですか?


 らすかるさんからのコメントです。(令和2年4月18日付け)

 その通りです。簡単でしたか?


 GAさんからのコメントです。(令和2年4月18日付け)

 いいえ、全然。

 まず、

  intnum(z=0,1,intnum(y=0,1,intnum(x=0,1,sqrt(x^2+y^2+z^2))))

で数値的に算出させたら、

%=0.96059195645505295943・・・

なる値を返してきた。そこで、例のOEISで、 9,6,0,5,9,1,9,5,6,7,5,5,・・・ で検索をかけると、
A130590」がヒットした。そのコーナーにこの式が記述されていたまでです。

 興味が出たので、

 intnum(w=0,1,intnum(z=0,1,intnum(y=0,1,intnum(x=0,1,sqrt(x^2+y^2+z^2+w^2)))))

の計算をさせてみると、かなり長い時間経過の後、

%=1.1218996187158609774・・・

を返した。同じく検索してみると、「A254979」に当たった。そこに、次の式をみる。

 2/5 - Catalan/10 + (3/10)*Ti_2(3-2*sqrt(2)) + log(3)
                         - (7*sqrt(2)/10) * arctan(1/sqrt(8))・・・・・・・・(*)

 ここに、Ti_2は、MathematicaでいうところのHurwitzLerchPhi(z,s,a):=納n=0,∞]z^n/(n+a)^s
のコマンドと思われるので、

Ti_2(3-2*sqrt(2))=(3-2*sqrt(2))/4*HurwitzLerchPhi(-((3-2*sqrt(2))^2,2,1/2)

をWolframを使って計算させ、

 0.171017553023189658181370710489720800443926035166220508663・・・

を手に入れた。また、

Catalan=1-1/3^2+1/5^2-1/7^2+1/9^2-・・・
=0.915965594177219015054603514932384110774149374281672134266498・・・

 これらを(*)へ代入すると、見事に、

1.12189961871586097735161517556754270920080795643954583083669・・・

なる値に一致しました。

 こんな計算を正確に計算させ、その結果をこんな数式に表せることが出来る研究者がい
ることが驚きでした。






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