f(x)=(1+1/x)^x、g(x)=(1+1/x)^(x+1) とする。
(1) 任意のx＞0に対して、f(x)＜e＜g(x) が成り立つことを示せ。（eは自然対数の底）
(2) 任意のx＞0に対して、f(x)とg(x)の相乗平均は、eより大きいことを示せ。
(3) 任意のx＞0に対して、f(x)とg(x)の調和平均は、eより小さいことを示せ。
eとの誤差率は、大きいxに対して、
{e-f(x)}/e≒1/(2x) 、{g(x)-e}/e≒1/(2x) 、{(相加平均)-e}/e≒1/(4.8x^2)
{(相乗平均)-e}/e≒1/(12x^2) 、{e-(調和平均)}/e≒1/(24x^2)
{((相乗平均)と(調和平均)と(調和平均)の調和平均)-e}≒1/(2880x^4)
最後の左辺を式にすると、 3(1+1/x)^(x+1)/{2+1/x+√(1+1/x)} となり、これはxが小さくて
も結構良いeの近似になります。
x=1で、2.718… 、x=10で、2.718281… 、x=100で、2.7182818284…
ＧＡＩさんからのコメントです。（令和２年４月１８日付け）
上記と同等に収束させるのに、
G(x)=(1+1/x)^x*11520*x^5/(11520*x^5 - 5760*x^4 + 5280*x^3 - 5040*x^2 + 4894*x - 4795)
で計算させると、 e = 2.71828182845904523536028747135･･･
G(1) %36 = 3.7776･･･
G(10) %37 = 2.71828289･･･
G(100) %38 = 2.718281828460･･･
G(1000) %40 = 2.71828182845904523647･･･
なので、随分スッキリした式で近似できるのは有難いですね。
