２組のトランプから絵札（J、Q、K)だけを抜き出し、２人が１２枚をそれぞれが持ち、互い
によくシャッフルする。その後、カードを上から一枚ずつ出し合い、２人のカードを見比べて
いく。

　お互い１２枚を出し終えたとき、それぞれ、次の条件での確率は如何ほどか？

（１）　同じ数字（マークは無視）が少なくとも１回出る確率P₁

（２）　同じマークが少なくとも１回出る確率P₂

（３）　ピタリ同じカードが少なくとも１回出る確率P₃

　また、（１）、（２）、（３）の条件では、一致する回数で確率が変動するが、それぞれで最も
確率が高くなる現象（一致する回数）はどんな場合で、そのそれぞれの最高の確率は？


　ａｔ さんからのコメントです。（令和２年４月１８日付け）

　「二人の人間 A, B がいて、Aは1組のトランプから絵札(J,Q,K)だけを抜き出し、その12枚の
カードを手に持つ。Bも、全くAと同じ12枚のカードを用意する。

　そして、二人は各々の手持ちのカードを一枚ずつ場に出し合い、出された2枚のカードを見
比べていく。」

　以上のような解釈で、以下計算します。

　同じ数字のカードがちょうど k 回出る確率を Q₁(k)、同じマークのカードがちょうど k 回出る
確率を Q₂(k)、数字もマークも同じカードがちょうど k 回出る確率を Q₃(k)　とします。

　Q₁(k)、Q₂(k)、Q₃(k) の計算式は、それぞれ次のようになりました。

Q₁(k)=(1/(12!))*[t^k](Σ[j=0,12](t-1)^j*(12-j)!*[x^j](Σ[m=0,4](comb(4,m))^2*m!*x^m)^3)

Q₂(k)=(1/(12!))*[t^k](Σ[j=0,12](t-1)^j*(12-j)!*[x^j](Σ[m=0,3](comb(3,m))^2*m!*x^m)^4)

Q₃(k)=(1/(12!))*[t^k](Σ[j=0,12](t-1)^j*(12-j)!*comb(12,j)).

　maximaを使って、k=0,1,2,…,12 に対する Q₁(k)、Q₂(k)、Q₃(k) の値を計算した結果が次で
す。

-------------------------------------------------------------------------

(%i1) Q₁(k):=(1/(12!))*coeff(expand(sum((t-1)^j*(12-j)!*coeff(expand((sum((binomial(4,m))^2*m!*x^m,m,0,4))^3),x,j),j,0,12)),t,k)$
Q₂(k):=(1/(12!))*coeff(expand(sum((t-1)^j*(12-j)!*coeff(expand((sum((binomial(3,m))^2*m!*x^m,m,0,3))^4),x,j),j,0,12)),t,k)$
Q₃(k):=(1/(12!))*coeff(expand(sum((t-1)^j*(12-j)!*binomial(12,j),j,0,12)),t,k)$

(%i2)

(%i3)

(%i4) makelist(Q₁(k),k,0,12);

        173   304   36   3568   883   32   656    96    38      64     8       1
(%o4) [-----, ----, ---, -----, ----, ---, ----, ----, ----, -----, ----, 0,-----]
       17325  5775  275  17325  3850  175  5775  1925  1925  17325  5775    34650

(%i5) makelist(Q₂(k),k,0,12);

        4611   2061   2817   203  23013   801   1373    27    477      9       9         1
(%o5) [------, -----, -----, ---, ------, ----, -----, ----, ------, -----, -----, 0, ------]
       123200  15400  12320  825  123200  7700  30800  1925  123200  15400  61600     369600

(%i6) makelist(Q₃(k),k,0,12);

        16019531  1468457  16481  16687    2119    103     53      11        1        1        1            1
(%o6) [--------, -------, -----, ------, ------, -----, ------, ------,  ------, -------, -------, 0, ---------]
        43545600  3991680  89600  272160  138240  33600  103680  151200  107520  1088640  7257600     479001600

-------------------------------------------------

　以上より、P₁、P₂、P₃ の値はそれぞれ、

P₁=1-Q₁(0)=17152/17325　、P₂=1-Q₂(0)=118589/123200　、P₃=1-Q₃(0)=27526069/43545600.

　また、Q₁(k)、Q₂(k)、Q₃(k)の最大値はそれぞれ、

　Q₁(4)=883/3850　、Q₂(3)=203/825　、Q₃(0)=16019531/43545600

となりました。


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和２年４月１８日付け）

　完璧に正解です。Q₃での確率では、カードの枚数が偶数ならQ₃(0)、奇数ならQ₃(1) となっ
ていくのが意外でした。（1パターンの違いですが･･･)

　また、P₃ではカードの枚数が12枚でも52枚でも殆んど変化なく、0.6321205･･･(≒1-1/e)程
度で、想像以上に早く収束していく。