条件：正多面体のN個の頂点に、各面の頂点の番号の和がすべて等しくなるように、
1、2、・・・、N の番号を振る。
＃余裕があれば、半正多面体などに範囲を広げて考えてみて下さい。
らすかるさんからのコメントです。（令和２年４月８日付け）
(1面あたりの頂点の番号の和)
＝(1〜Nの総和)×(頂点に集まる面の数)÷(面の数)
に従って計算すると、
○正四面体：N=4 の場合
(4×5)/2 × 3 ÷ 4 = 7．5 → NG
○正六面体：N=8 の場合
(8×9)/2 × 3 ÷ 6 = 18 → OK
○正八面体：N=6 の場合
(6×7)/2 × 4 ÷ 8 = 10．5 → NG
○正十二面体：N=20 の場合
(20×21)/2 × 3 ÷ 12 = 52．5 → NG
○正二十面体：N=12 の場合
(12×13)/2 × 5 ÷ 20 = 19.5 → NG
というわけで、正六面体だけ可能性あり。
この組み合わせは以前手計算で全通り求めたことがあって、正六面体ABCD-EFGHで条
件を満たす番号の配置は、回転や鏡像を同一視すると、
(A,B,C,D,E,F,G,H)＝(1,4,5,8,6,7,2,3)、(1,4,5,8,7,6,3,2)、(1,6,3,8,7,4,5,2)
の３通りとなります。
なおさんからのコメントです。（令和２年４月１０日付け）
その通りです。式を立ててしまえば存在しない事を示すのは簡単な計算ですね。
ちなみに、半正多面体で探しても条件を満たすものはありませんでした。
