次の定積分を計算せよ。

　∫₀¹ ｎxⁿ・Log（1 + x²）ｄｘ

　また、n->∞の時の値も求めよ。ただし、Log(ｘ)は自然対数を表す。


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和２年２月１６日付け）

∫₀¹ ｎxⁿ・Log（1 + x²）ｄｘ

=［（ｎ/（ｎ＋１）・ｘ^ｎ+1・Log（1 + x²）]₀¹−ｎ/（ｎ＋１）・∫₀¹ ２ｘ^ｎ+2/（1 + x²）ｄｘ

=n*Log(2)/(n+1)-2*n/(n+1)∫₀¹ x^(n+2)/(1+x^2)dx

=n*Log(2)/(n+1)-2*n/(n+1)∫₀^π/4 (tant)^(n+2)dt

　ここに、I[n]=∫[0,π/4](tant)^ndt　とおくと、　I[n+2]+I[n]=1/(n+1)

　I[0]=∫[0,π/4]1dt=π/4　、I[1]=∫[0,π/4](tant)dt=-[Log|cost|]₀^π/4=Log(2)/2　なので、

　n：evenのとき、

n*Log(2)/(n+1)-2*n/(n+1)*Σ[k=0,n/2]

(-1)^(n/2-k)/(2*k+1))+(-1)^(n/2+1)*π/4)

　n：oddのとき、

n*Log(2)/(n+1)-2*n/(n+1)*Σ[k=1,(n+1)/2]

(-1)^((n+1)/2-k)/(2*k))+(-1)^((n+1)/2)*Log(2)/2)

　ここで、n->∞　とすると、

　n：evenのとき、　1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+･･･=π/4

　n：oddのとき、　1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+･･･=log(2) より、

　　　　　　　　　　1/2-1/4+1/6-1/8+1/10-1/12+･･･=Log(2)/2

なので、どちらも　n->∞ では、Log(2)　に収束