そこで、ＧＡＩ さんの問題「V/Mの値を最も高く持つｎは何でしょう？」に対して、「ｎ＝９９７」
と予想するのだが、これは如何？
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和２年２月１日付け）
確かに分散値なら素数が大きな値を取るのですが、平均値との比での値では必ずしも素
数が候補にはなりませんでした。「997」は第47位になります。
らすかるさんからのコメントです。（令和２年２月１日付け）
表を見ると、素数よりも２素因数が近い半素数の方が大きくなりそうなので、「989」あたり？
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和２年２月１日付け）
正解です。
（コメント） ９８９＝２３×４３ で、約数は、１、２３、４３、９８９
このとき、分散（Ｖ）は、１７５４２９、平均（Ｍ）は、２６４なので、Ｖ/Ｍ＝６６４．５
確かに、「ｎ＝９９７」の場合より大きい！
DD++さんからのコメントです。（令和２年２月２日付け）
V+M^2 はすべての正約数の2乗の平均になります。したがって、
V/M+M =（すべての正約数の2乗の平均）/（すべての正約数の平均）
すなわち、 V/M+M = （すべての正約数の2乗の合計）/（すべての正約数の合計）
となります。
まず、粗い近似をしてみます。
p を n の最小素因数とし、約数は大きい方から2つだけ（つまり、n と n/p だけ）計算すると、
V/M+M = n*(1+p^(-2))/(1+p^(-1))
つまり、n は大きい方がよく、最小素因数 p はなるべく大きい方がよく、しかし一方で、左辺
の M は小さい方がよい、すなわち約数の個数は多い方がよいという傾向が見て取れます。
さて、ではもうちょっと真面目に評価してみます。
n = Π p[k]^r[k] と因数分解される場合、約数の総和や等比級数の公式から
V/M = Π (p[k]^(r[k]+1)+1) / (p[k]+1) - M
と求まります。ここで、先の粗い近似で得られた情報から、以下の2つを仮定してみます。
・全ての p[k] は似たり寄ったりの大きさである
・全ての r[k] は 1 である
このとき、p[k] ≒ n^(1/k) と近似することができ、
V/M ≒ (n^(2/k)+1)^k / (n^(1/k)+1)^k - (n^(1/k)+1)^k/2^k
となります。この式は、
k=1 のとき、 (n^2+1) / (n+1) - (n+1)/2
k=2 のとき、 (n+1)^2 / (n^(1/2)+1)^2 - (n^(1/2)+1)^2/4
となっており、wolfram先生によると、n≒48.7 あたりで大小関係が逆転し、k=2 の方が大きく
なります。
さらに、
k=3 のとき、 (n^(2/3)+1)^3 / (n^(1/3)+1)^3 - (n^(1/3)+1)^3/8
を k=2 の式と比較すると、n≒7259 付近で大小関係が逆転し、k=3 の方が大きくなります。
実際、n≒10000 付近では、
n = 9991 = 97*103 だと、 V/M ≒ 7247.9
n = 10013 = 17*19*31 だと、 V/M ≒ 7326.6
のように、nの値そのものの差以上に後者が大きくなっています。
同様に、
k=4 が大きくなるのは、 n≒5898648 付近
k=5 が大きくなるのは、 n≒23859107110 付近
だそうです。指数関数よりも速い勢いで増えそう？
