１，６，７
８，５，２
３，４，９
の表示では、以下のように６とおり
１＋６＋８＋５＝１＋７＋３＋９＝６＋８＋４＋２＝２０
６＋７＋５＋２＝８＋５＋３＋４＝５＋２＋４＋９＝２０
円陣 三つの円を横に交差させ、円の中に、左から
(２，９，５，６)(５，６，１，３，７)(３，７，４，８) ： 円の中の数の和は、２２
三つの円を、各々交差させ、円周上、交点に
Ａ(１３６７８)、Ｂ(３９４７２)、Ｃ(２６４５８) ： 円周上の和は、２５
小町算 １２３−４５−６７＋８９＝１００
１＋２＋３−４＋５＋６＋７８＋９＝１００
１７３＋２８６＝４５９ １８２＋３９４＝５７６ ２１９＋３４８＝５６７ １８２＋４９３＝６７５
２８１＋３９４＝６７５ １３４＋６５８＝７９２ １４３＋５８６＝７２９ ２７１＋５９３＝８６４
２３５＋７４６＝９８１ ３４２＋５７６＝７１８ ３１７＋５２９＝８４６
その他、分数、積、差のものも見かけました。
今、３×３の区画の中に１から９の数字を入れて辺で隣り合う数四つで、ペントミノの形で
１０から３０まで作ろうとしました。あと一歩、２６以外は作れました。すべて作れるでしょうか？
１，２，６
３，４，８
５，７，９
で並べた場合です。よろしく、お願いします。
らすかるさんからのコメントです。（令和元年１１月３０日付け）
「ペントミノの形」とはどういう形のことを言っているのですか？
まず、「ペントミノ」というのは５個の正方形をくっつけた形なので、「四つで」というのがよく
わかりませんし、「ペントミノの形」は１２種類ありますのでこれもわかりませんし、「ペントミノ
の形」のうち４種類は、３×３の区画におさまりませんので、これもわかりません。
ｋｓさんからのコメントです。（令和元年１１月３０日付け）
恐れ入ります。ペントミノは、５つなんですね。隣り合う四つだけでは分かり難いと思い矩形
の形のことだと思いました。形だと
〇〇〇 〇〇 〇〇
〇 〇〇 〇〇
の対称形です。
らすかるさんからのコメントです。（令和元年１１月３０日付け）
○
○○
○
という形は除外ですか？この形がないと13,16,27が作れませんので除外ではないようですね。
# 正方形をｎ個くっつけて出来る図形は、ｎ＝１から順に、モノミノ・ドミノ・トロミノ・テトロミノ・
ペントミノ・ヘキソミノ・… # という名前が付いていますので、「四つ」は「テトロミノ」です。
「隣接4数の和で10〜30が作れるもの」は、対称形を削除して以下の98通りでした。
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
4 5 7 4 5 9 4 6 5 4 6 5 4 6 5 4 6 5 4 6 5 4 6 5 5 4 6 5 4 6
9 8 6 6 8 7 7 8 9 7 9 8 8 7 9 8 9 7 9 8 7 9 7 8 7 8 9 7 9 8
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
5 4 6 5 4 6 5 6 4 5 6 4 5 6 4 5 6 4 5 6 4 5 6 4 6 4 5 6 4 5
8 9 7 9 8 7 7 8 9 7 9 8 8 7 9 8 9 7 9 8 7 9 7 8 7 8 9 7 9 8
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 4 1 2 4 1 2 4 1 2 4 1 2 4
6 4 5 6 4 5 7 5 4 7 5 4 7 5 4 3 5 6 3 5 6 3 5 8 3 6 7 6 5 3
8 9 7 9 8 7 6 8 9 6 9 8 9 8 6 8 9 7 9 8 7 7 9 6 5 9 8 7 8 9
1 2 4 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2
6 5 3 4 5 6 4 5 6 4 5 6 5 4 6 5 4 6 5 4 6 5 4 6 6 5 4 6 5 4
9 8 7 8 7 9 8 9 7 9 7 8 7 8 9 7 9 8 8 9 7 9 8 7 7 9 8 8 7 9
1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 4 1 3 4 2 1 3 2 1 3
6 5 4 6 5 4 6 4 5 6 4 5 6 4 5 6 4 5 2 5 8 2 5 9 4 5 6 4 5 6
8 9 7 9 7 8 7 8 9 7 9 8 8 9 7 9 8 7 6 7 9 6 7 8 7 9 8 8 9 7
2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3
4 5 6 4 6 5 4 6 5 4 6 5 4 6 5 4 6 5 5 4 6 5 4 6 5 4 6 5 6 4
9 7 8 7 8 9 7 9 8 8 7 9 9 8 7 9 7 8 7 8 9 7 9 8 9 8 7 7 8 9
2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3
5 6 4 5 6 4 5 6 4 6 5 4 6 5 4 6 5 4 6 5 4 6 4 5 6 4 5 7 5 4
8 7 9 9 8 7 9 7 8 7 9 8 8 7 9 8 9 7 9 7 8 7 8 9 9 8 7 9 8 6
2 1 3 2 1 4 2 1 4 2 1 4 2 1 4 2 1 4 2 1 4 2 1 4 2 1 4 2 1 5
8 5 4 3 5 7 3 6 7 3 6 8 3 6 9 3 6 9 6 5 3 7 5 3 8 5 3 3 4 7
6 9 7 6 9 8 5 9 8 5 9 7 5 8 7 5 7 8 7 8 9 6 9 8 7 9 6 6 8 9
2 1 5 2 1 5 2 1 5 2 3 4 2 3 4 2 3 5 2 3 5 3 2 4 3 2 4 3 2 4
3 4 7 3 4 8 3 4 9 1 5 8 1 5 8 1 4 7 1 4 9 1 5 6 1 6 7 1 6 9
6 9 8 6 9 7 6 8 7 6 7 9 6 9 7 6 9 8 6 8 7 7 8 9 5 9 8 5 7 8
3 2 5 3 1 4 3 1 4 3 1 4 3 1 4 3 1 4 3 1 4 3 1 5
1 4 7 2 5 7 2 5 9 2 6 7 6 5 2 7 5 2 8 5 2 2 4 7
6 9 8 8 9 6 6 7 8 5 9 8 7 9 8 9 8 6 6 9 7 6 9 8
ｋｓさんからのコメントです。（令和元年１１月３０日付け）
ありがとうございます。４数の矩形が抜けてました。こんなにいっぱいで、びっくりです。
ｋｓさんからのコメントです。（令和２年７月１０日付け）
上記で、らすかるさんに、１から９を３×３の中にいれて、隣接する４つの数の和で１０〜３０
まで作って頂いて、手作業ではなかなか見つからないのを多く見つけていただきました。４つ
以外、３つだと、６から２４まで、２つだと３から１７まで作ろうとしたのですが、可能でしょうか？
きりのない話なのですが、４×４など、も気になりました。
らすかるさんからのコメントです。（令和２年７月１１日付け）
「隣接3項の和が6〜24」は手作業で調べたのですが、条件を満たすものは対称形を除いて
1 2 4 2 1 3 2 1 3 2 1 4
3 5 6 4 5 6 4 5 7 3 5 7
7 9 8 7 9 8 6 8 9 6 9 8
の4通りだけでした。このうち1番目と3番目が大小対称形(nを10-nに置き換えると他方になる)、
2番目と4番目はそれぞれ大小自己対称形(nを10-nに置き換えると自分自身になる)ですので、
実質的には3通りです。見た目は4番目が最もきれいですね。
なお、「隣接2項の和が3〜17」は明らかに不可能です。なぜなら、隣接2項の取り方が12通
りしかないからです。
4×4は手作業でもプログラムでも難しそうです。
ｋｓさんからのコメントです。（令和２年７月１１日付け）
らすかるさん、有難うございます。確かに、四番目が覚え易いですね。二個の不可能性に、
直ぐにきずかれたのですか。
らすかるさんからのコメントです。（令和２年７月１１日付け）
4×4の隣接3項の和(6〜45)は何とかプログラムを作って調べました。
解は全部で30333個、そのうち大小自己対称形(nを17-nに置き換えると自分自身になる)は
289個でしたので、実質的には(30333-289)÷2+289=15311通りとなります。
解のうち見た目が綺麗なものを一つ書くと、
1 2 7 8
3 4 5 6
11 12 13 14
9 10 15 16
となります。隣接4項は手に負えない気がします。
ＧＡＩさんからのコメントです。（令和２年７月１１日付け）
さすがに4×4ではパターンが多すぎるので、3行4列に1〜12の数字を配置して、隣接3個
の和が6〜33をすべて構成できる配列を調べてみました。
[1, 3, 12, 10; 2, 5, 9, 11; 4, 6, 8, 7]
[1, 4, 11, 12; 2, 3, 10, 9; 6, 5, 8, 7]
[1, 5, 11, 12; 2, 3, 10, 9; 4, 6, 7, 8]
[2, 1, 9, 11; 3, 4, 12, 10; 6, 5, 7, 8]
[2, 3, 12, 11; 1, 4, 9, 10; 5, 6, 7, 8]
[3, 2, 8, 9; 1, 4, 10, 12; 5, 6, 7, 11]
･･･････････････････
と数多く構成可能となるようですが、型として美しいのは上の5番目にある
2 3 12 11
1 4 9 10
5 6 7 8
が覚えやすいかも。
らすかるさんからのコメントです。（令和２年７月１１日付け）
隣接4項も何とかプログラムが作れました。
対称形を除いて、全部で16075384通り、このうち大小自己対称形が7914通りで、実質は
(16075384-7914)÷2+7914=8041649通りでした。
解のうち最も綺麗なものは、
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
でした。（まさか、これが解になるとは）
ｋｓさんからのコメントです。（令和２年７月１１日付け）
執念ですね。普通が、キレイ、意外。GAIさん、らすかるさん、いい仕事してますね。
恐縮です。
手作業で、隣接に関係なく、1個のとき、9通り、2個のとき、3〜17で15通りと続けて行くと、
対称になり、放物線になることが分かりました。
ＧＡＩさんからのコメントです。（令和２年７月１２日付け）
らすかるさんの連結4個に刺激され、3-4行列での場合での連結4個(5種類の形状がとれる）
の和を10〜42をすべてこの４個の部分での和で構成できる1〜12の数字の配置可能なパタ
ーンについて調べてみました。
全数を出すまでに私のプログラムでは２〜３日かかってしまいそうだったので、1行1列の
要素に"1"を置いた場合のみの数が1415通りでしたので大雑把に見積もり12*1415≒17000
程度ではないかと思われます。
（その後"2"を先頭にした場合が1787通りでしたので、かなりバラツキがありそうです。）
具体的配列とし、ていの一番に返してきたものが、
1 2 3 4
6 5 7 8
9 12 11 10
でした。計算機を走らせっ放しにしていたら、12時間ほどで終了したみたいで折角なので結
果を示してみます。
"1"が先頭 1415 通り
"2"が先頭 1787
"3"が先頭 2190
"4"が先頭 2739
"5"が先頭 2628
"6"が先頭 2915
"7"が先頭 2915
"8"が先頭 2628
"9"が先頭 2739
"10"が先頭 2190
"11"が先頭 1787
"12"が先頭 1415 合計 27348 通り
更に面白い配列は、
10 12 11 9
8 7 6 5
4 3 2 1
が存在していた。逆にこれは上記の配列を先に示しておいて、何処での連結した４個が和を
10〜42とする部分かを全部見つけ出すパズルとしても面白いかも知れませんね。
慣れてきたら見つけ出せるかもしれませんが、実際やってみたらなかなか見つけるまでに
苦労しました。ちょっとランダム的に
2 10 12 8
1 4 9 11
5 3 6 7
などとすれば更に難しくなりそうです。
らすかるさんからのコメントです。（令和２年７月１２日付け）
ちょっと気になったので、さらに、
「隣接3項で6〜45が作れて、かつ隣接4項で10〜58が作れる」
というパターンも調べたところ、対称形を除いて1259通り、そのうち大小自己対称解は141個
なので、実質は(1259-141)÷2+141=700通りという結果になりました。
上記の条件を満たすもののうち、nを17-nに置き換えると、元のパターンの180°回転と一
致するような大小自己対称解は46個あり、この中で最も「良い」解は以下のものです。
5 1 2 4
9 3 7 6
11 10 14 8
13 15 16 12
この解は「隣接3項で6〜45が作れて、かつ隣接4項で10〜58が作れる」だけでなく、なんと
「隣接5項で15〜70」 、「隣接6項で21〜81」 、「隣接7項で28〜91」 、「隣接8項で36〜100」
「隣接9項で45〜108」 、「隣接10項で55〜115」 、「隣接11項で66〜121」
「隣接12項で78〜126」 、「隣接13項で91〜130」 、「隣接14項で105〜133」
「隣接15項で120〜135」（←これは自明）
をすべて満たしています。
# 「隣接n項でn(n+1)/2〜n(33-n)/2が作れる」がすべてのn≠2で成り立つものは、対称形を
除き、上に書いた一つしかありませんでした。
ｋｓさんからのコメントです。（令和２年７月１２日付け）
アメージング、エクセレント、ビューティフル！一石二鳥どころではない。水晶の玉のように
どの方向からも透明。数字を小さい方を下にして、山を登るように試行錯誤して、三隣接の
場合確認しました。
合同な十六多面体があれば、数字を埋めてみたい。
正三角形、十六面できそうです。早速工作し、色は四色が良さそう。
らすかるさんからのコメントです。（令和２年７月１５日付け）
題名と内容があまり合わなくなってしまいましたが、前回の内容でさらに5×5の場合を考え
ました。一般に、
「N×Nマスに1〜N^2を配置し、隣接n項でn(n+1)/2〜n(2N^2-n+1)/2がすべて作れるように
する（ただしNによらずn=2では不可能なのでn≠2）」
となり、N=3のときは、
2 1 3
4 5 6
7 9 8
の1個のみ、N=4のときは、
5 1 2 4
9 3 7 6
11 10 14 8
13 15 16 12
の1個のみ（いずれも対称形を除く）でしたが、これのN=5の場合を調べたところ、解がたくさ
んありました。大小自己点対称形（kをN+1-kに置き換えると180°回転したものと同じになる
もの）しか調べていませんが、
1 2 3 8 10 1 2 4 6 8 1 2 4 6 8 1 2 4 6 10
5 4 7 11 14 3 5 7 9 10 3 5 7 9 11 3 5 7 8 15
9 6 13 20 17 12 11 13 15 14 12 10 13 16 14 9 14 13 12 17
12 15 19 22 21 16 17 19 21 23 15 17 19 21 23 11 18 19 21 23
16 18 23 24 25 18 20 22 24 25 18 20 22 24 25 16 20 22 24 25
1 2 4 8 11 1 2 4 8 14 2 1 4 8 11 3 2 4 7 10
5 3 7 10 14 3 5 6 11 16 5 3 7 10 14 6 1 12 18 15
9 6 13 20 17 7 9 13 17 19 9 6 13 20 17 9 5 13 21 17
12 16 19 23 21 10 15 20 21 23 12 16 19 23 21 11 8 14 25 20
15 18 22 24 25 12 18 22 24 25 15 18 22 25 24 16 19 22 24 23
4 1 3 5 8 5 1 2 3 6 5 1 2 3 6 5 1 2 3 7
6 2 9 14 10 8 7 4 10 9 10 7 4 9 8 9 4 6 8 10
11 7 13 19 15 11 12 13 14 15 15 12 13 14 11 12 15 13 11 14
16 12 17 24 20 17 16 22 19 18 18 17 22 19 16 16 18 20 22 17
18 21 23 25 22 20 23 24 25 21 20 23 24 25 21 19 23 24 25 21
5 1 2 4 7 5 2 1 4 8 5 2 3 7 9 6 2 1 7 11
8 6 3 11 10 7 3 6 10 12 8 4 1 6 11 8 4 3 5 14
12 9 13 17 14 11 9 13 17 15 12 16 13 10 14 10 17 13 9 16
16 15 23 20 18 14 16 20 23 19 15 20 25 22 18 12 21 23 22 18
19 22 24 25 21 18 22 25 24 21 17 19 23 24 21 15 19 25 24 20
の16個がありました。5×5はアルゴリズムを工夫して何とかなりました（この結果4×4はあっ
という間に終わる）が、6×6はいよいよダメそうです。
ｋｓさんからのコメントです。（令和２年７月１５日付け）
三×三でも、完全体がある。五×五は、条件が厳しいようですが、そのぶん自由度がます。
勉強になります。宇宙人の可能性みたい。
